Метод Винера-Хопфа и его приложения в физических задачах

Метод Винера-Хопфа и его приложения в физических задачах.

Демидов Р.А. ,ФТФ, 2105

Введение

Указанный метод подходит для решения интегральных уравнений на полубесконечном промежутке с ядром, зависящим от разности аргументов – речь идет об уравнениях вида

.

Этот метод был предложен в совместной работе Н.Винера и Э.Хопфа в 1931 году, и находит разнообразные применения в теории дифференциальных и интегральных уравнений, а также в их приложениях в физических задачах.

В своей работе я опишу сам метод Винера-Хопфа, а также приведу его применение к решению краевых задач матфизики.

1. Метод

1.1 Случай бесконечного промежутка

Метод Винера-Хопфа основан на специальном виде ядра интегрального уравнения – оно зависит от разности аргументов, а не от самого аргумента. Собственно, для начала рассмотрим уравнение вида

⁽¹⁾

- это уравнение с бесконечным промежутком и тем же самым ядром. Решение его существует ,если выполняются 2 условия:

,

а также условие сходимости нормы u(x):

.

Эти условия работают при действительных λ. Мы рассмотрим два способа решения этого уравнения – один, использующий свойство свертки напрямую, другой – с помощью резольвенты. Итак,первый .Заметим, что в случае именно бесконечного промежутка интеграл представляет собой свертку ядра и функции u(x). Вспомнив,что Фурье-образы функций u(x),f(x),g(x) выглядят как, воспользуемся свойством образа свертки двух функций – “образ свертки есть свертка образов”. Тогда для функций U(k),V(k),F(k) – образов соответствующих функций, получаем алгебраическое уравнение:

⁽²⁾

Данное свойство образа свертки доказывается “в лоб”, а именно – домножением равенства (1) на и интегрированием по всей действительной оси:

Делая замену во втором интеграле (x-s)=t, получаем

,

что и требовалось доказать.

Видим, что мы свели исходную задачу к алгебраическому уравнению относительно образа исходной функции u(x). Выражая его через образы ядра и f(x),производя обратное преобразование Фурье, получаем в качестве искомого решения:

=>

=> ⁽³⁾

Второй способ: вычисляем резольвенту уравнения как

⁽⁴⁾

В виде Фурье - образов это равенство выглядит так:

,

где G(k) вычисляется как

⁽⁵⁾

V(k) – Фурье-образ исходного ядра v(x) уравнения (1).То есть для решения исходного уравнения необходимо найти функцию g(x),применив обратное преобразование Фурье к (5),и подставить его в (4). Этот способ не требует вычисления каждый раз интегралов для F(k) при смене функции f,она подставляется в самом конце один раз, поэтому такой способ быстрее.

На примере этой задачи мы поняли, как решать уравнение с бесконечным промежутком интегрирования. На этом примере мы будем строить решение уравнения с полубесконечным промежутком – и опишем метод Винера-Хопфа.

1.2 Полубесконечный промежуток

Понятно, что в случае, если интегрирование идет не с -∞, а с 0, переходя к образам, мы не можем воспринимать наш интеграл как свертку – а значит, и не можем написать наше уравнение. Запишем некоторые свойства преобразования Фурье, связанные с полубесконечными промежутками, которые нам понадобятся в дальнейшем. Итак, в случае разбиения функции f (x) на два куска – f₊ (x) и f_- (x), (f(x)= f₊ (x) + f_- (x) )представляющих собой правый и левый концы следующим образом:

выражения для прямых и обратных преобразований Фурье для них будет выглядеть так:

f₊ ^: ,

при причем здесь - комплексная переменная, и выполняется неравенство Im(k)=τ > τ_{- .} Причем

Обратное преобразование выглядит так:

,

и здесь мы интегрируем по любой прямой Im(k)=τ > τ_- .

f_- ^: При

для прямого преобразования Фурье имеем

,

к здесь та же к.п. ,это верно в области с Im(k)=τ < τ_{+ .} Обратное преобразование для f_- выглядит аналогично:

Интегрирование идет по той же прямой с Im(k)=τ < τ₊

При τ_- < τ₊ образ F(k) задаётся уравнением

как раз в полосе τ_- < Im(τ) < τ_{+ .} При τ_- < 0,τ₊ > 0 функция полоса Im(τ)=0 попадает в границы интегрирования, и интеграл можно взять вещественным, выбрав мнимую часть τ нулем.

Применим эти соображения к решению искомого уравнения. (6)

⁽⁶⁾

Разложим неизвестную функцию u(x) на составляющие u₊ , u_- :

При подстановке этих функций в уравнение (6) мы получаем два уравнения на каждую часть u(x).Факт существование решения мы примем без доказательств. Мы ищем решения, удовлетворяющие следующим условиям:

,

µ<τ₊ .

При их выполнении в полосе µ < Im(k) < τ₊ функции u₊ ,u_- являются аналитическими.

Переходя по формулам преобразования Фурье к уравнени

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать