Об алгебраических уравнениях высших степеней

Министерство общего и профессионального образования РФ

Кубанский государственный технологический университет

Кафедра общей математики

ОБ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ ВЫСШИХ СТЕПЕНЕЙ

Белокопытов А.Ю., Морозов В.О.

группа 20-КТ-61

Краснодар, 2001

Уравнения! Можно утверждать наверняка, что не найдется ни одного человека, который бы не был знаком с ними. Дети сызмала начинают решать «задачи с иксом». Дальше – больше. Правда, для многих знакомство с уравнениями и заканчивается школьными делами. Известный немецкий математик Курант писал: «На протяжении двух с лишним тысячелетий обладание некоторыми, не слишком поверхностными, знаниями в области математики входило необходимой составной частью в интеллектуальный инвентарь каждого образованного человека». И среди этих знаний было умение решать уравнения.

Уже в древности люди осознали, как важно научиться решать алгебраические уравнения вида

a₀ xⁿ + a₁ x^{n – 1} + … + a_n = 0

– ведь к ним сводятся очень многие и очень разнообразные вопросы практики и естествознания (конечно, здесь можно сразу предполагать, что а₀ ¹ 0 , так как иначе степень уравнения на самом деле не n , а меньше). Многим, разумеется, приходила в голову заманчивая мысль найти для любой степени n формулы, которые выражали бы корни уравнения через его коэффициенты, т.е., решали бы уравнение в радикалах. Однако «мрачное средневековье» оказалось как нельзя более мрачным и в отношении обсуждаемой задачи – в течение целых семи столетий требуемых формул никто не нашел! Только в XVI веке итальянским математикам удалось продвинуться дальше – найти формулы для n = 3 и 4 . История их открытий и даже авторство найденных формул достаточно темны по сей день, и мы не будем здесь выяснять сложные отношения между Ферро, Кардано, Тартальей и Феррари, а изложим лучше математическую суть дела.

Рассмотрим сначала уравнение

a₀ x³ + a₁ x² + a₂ x + a₃ = 0.

Легко проверить, что если мы положим , где y – новое неизвестное, то дело сведется к решению уравнения

y ³ + py + q = 0,

где p, q – новые коэффициенты. Счастливая догадка итальянцев состояла в том, чтобы искать y в виде суммы y = u + v , где u , v – д в а новых неизвестных. Для них наше уравнение перепишется – после небольшой перегруппировки слагаемых – так:

u ³ + v ³ + (3 uv + p )( u + v ) + q = 0.

Так как неизвестных теперь два, на них можно наложить еще какое-нибудь условие – лучше всего

3 uv + p = 0,

тогда исходное уравнение примет совсем простой вид

u ³ + v ³ + q = 0.

Это означает, что сумма кубов u ³ , v ³ должна равняться – q , а их произведение . Следовательно, сами u ³ , v ³ должны быть конями квадратного уравнения

t ² + qt – p³ /27 = 0,

а для него формула уже известна. В итоге получается формула

причем из девяти пар значений входящих в нее кубических радикалов надо брать только пары, дающие в произведении –p/3, как вытекает из нашего рассуждения. Исторически за этой формулой закрепилось название формулы Кардано, хотя вопрос о ее авторстве так до конца и не выяснен.

Для n = 4 формулу открыл Феррари, она выглядит сложнее, но тоже использует только четыре арифметических действия и извлечение радикалов. Вот набросок вывода формулы Феррари. Прежде всего, подобно предыдущему, положим , тогда дело сведется к решению уравнения вида

y ⁴ + py ² + qy + r = 0.

Дополнив y ⁴ до ( y ² + z )² , т.е. прибавив и вычтя в левой части 2 zy ² + z ² , где z – вспомогательное неизвестное, получим

( y ² + z )² – [(2 z – p ) y ² – qy + ( z ² – r )] = 0.

Подберем теперь z так, чтобы квадратный трехчлен в квадратных скобках оказался полным квадратом; для этого нужно, чтобы его дискриминант равнялся нулю, т.е. чтобы было

q² – 4(2z – p) (z² – r) = 0.

Можем ли мы решить это уравнение относительно z

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать