Интегрирование линейного дифференциального уравнения с помощью степенных рядов

Для решения дифференциального уравнения:

(I.1)

где функции а_i(t) (i=0,1,2) разлагаются в степенной ряд в окрестности точкиt₀с радиусами сходимостиr_i:

i=0,1,2

необходимо найти два линейно-независимых решения ₁(t), ₂(t). Такими решениями будут, например, решения уравнения (I.1) с начальными условиями:

Решения _i будем искать в виде степенного ряда:

(I.2)

методом неопределенных коэффициентов.

Для решения воспользуемся теоремами.

Теорема 1: (об аналитическом решении)

Если p₀(x), p₁(x), p₂(x) являются аналитическими функциями x в окрестности точки x=x₀ и p₀(x)≠0, то решения уравнения p₀(x)y^’’ + p₁(x)y^’ + p₂(x)y = 0 также являются аналитическими функциями в некоторой окрестности той же точки и, значит, решения уравнения можно искать в виде: y=l₀ + l₁(x-x₀) + l₂(x-x₀)² + … + l_n(x-x₀)ⁿ + …

Теорема 2: (о разложимости решения в обобщенный степенной ряд)

Если уравнение (I.1) удовлетворяет условиям предыдущей теоремы, но x=x₀ является нулем конечного порядка S функции a₀(x), нулем порядка S-1 или выше функции a₁(x) (если S>1) и нулем порядка не ниже S-2 коэффициента a₂(x) (если S>2), то существует, по крайней мере, одно нетривиальное решение уравнения (I.1) в виде суммы обобщенного степенного ряда:

y= l₀(x -x₀)^k + l₁(x – x₀)^k+1 + … + l_n(x-x₀)^k+n + …

где k- некоторое действительное число, которое может быть как целым, так и дробным, как положительным, так и отрицательным.

Рассмотрим уравнение:

(I.3)

a₀(t) = t + 2 ; a₁(t) = -1; a₂(t) = -4t³; a₀(t) ≠ 0 t

по теореме 2 хотя бы одно нетривиальное решение уравнения (I.3) может быть найдено в виде суммы обобщенного степенного ряда (t) = c_n(t-t₀)ⁿ

возьмем t₀ = 0, будем искать решение в виде (t) = c_ntⁿ (I.4)

Опираясь на теорему 1 и, дифференцируя ряд (I.4) почленно два раза, получим

(t) = nc_nt^n-1, (t) = n(n-1)c_nt^n-2

(2+t)( n(n-1)c_nt^n-2) – (nc_nt^n-1) – 4t³( c_ntⁿ)=0

Вычислим коэффициенты при соответствующих степенях:

t⁰ : 4c₂ – c₁=0 4c₂-c₁-4c_-3=0

t¹ :

рекуррентное соотношение имеет вид

n N, c_-3=0, c_-2=0, c_-1=0 (I.5)

при n=0,

n=1,

n=2, c₄=0

n=3,

n=m-2,

Итак,

Найдем радиусы сходимости R полученных решений, общим методом не представляется возможным, поэтому на основании теоремы о существовании и единственности решения.

Которые имеют область сходимости (по формуле Даламбера):

а)

б)

Итак, область сходимости

2. Синтез управления с не более, чем с одним переключением в управляемой системе второго порядка.

Необходимо рассмотреть линейную управляемую систему:

Требуется подобрать управление и( ), переводящее фазовую точку (х₁,х₂) из заданного начального состояния в начало координат (0,0).

На выбор управления и( ) накладывается условие | и( )|=1 и и( ) имеет не более одного переключения.

положение равновесия

Д=-7 фокус, т.к. <0,>

III. Малые возмущения системы линейных уравнений

В этой задаче рассматривается система:

с действительными коэффициентами а_ij.

Необходимо исследовать фазовые кривые этой системы:

(1)

Сведем систему (1) к системе вида:

(2)

с помощью замены

(3)

Запишем систему (1) в виде

, где (4)

Подставим в систему (4), а в систему (3), тогда получим:

(5)

Найдем собственные значения матрицы А:

,

Систему (2) можно записать в виде:

, где (6)

Из системы (5) и (6) следует, что

Подберем матрицу С такую, что пусть и AC = CB

=

Решив эту систему, получим: a=-2, b=-1, c=1, d=0, т.е. и

Поставим матрицу С в замену:

Подставим полученные зн

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать