Некоторые примеры некоммутативных алгебр

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего

профессионального образования

«Московский педагогический государственный университет»

математический факультет

кафедра Алгебры.

РЕФЕРАТ

По теме «Некоторые примеры некоммутативных алгебр».

Выполнила:

Студентка

3 группы 6 курса

Браницкая Нина Анатольевна

Научный руководитель:

Ширшова Елена Евгеньевна.

Москва, 2010

Содержание:

Глава 1. Основные понятия и определения...................................................................................................................... 4

Глава 2. Примеры некоммутативных алгебр............................................................................................................................... 3

1. Множество векторов трехмерного векторного пространства над полем 3

a. Свойства векторного произведения.................................................................................................. 4

b. Выражение векторного произведения через координаты.................................................................................................... 4

2. Множество квадратных матриц над полем 5

3. Тело кватернионов К над полем 5

a. Основные свойства.......................................................................................................... 6

4. Алгебра Грассмана над полем 9

a. Следствия..................................................................................................... 10

5. Список литературы............................................................................................................ 11

1. Основные понятия и определения.

Определение: Пусть F – поле, V - некоторое множество, на котором заданы следующие операции:

1. операция сложения:

2. операция умножения:

Множество V с заданными на нем операциями сложения и умножения элементов из V на элементы из F называется векторным (линейным) пространством над полем F , если выполняются следующие условия:

- абелева группа;

Элементы множества V называются векторами , а элементы поля F – скалярами .

Определение: Векторное пространство А над полем Р называется алгеброй , если выполняются следующие условия:

Определение (И.Л. Бухбиндер): Линейное пространство А называется (линейной) алгеброй , если в нем определена бинарная операция умножения элементов, то есть любым двум элементам сопоставляется единственный элемент, обозначаемый : , при этом бинарная операция удовлетворяет следующему свойству:

.

Определение: Алгебра называется ассоциативной , если .

Определение: Алгебра называется коммутативной , если .

Определение: Если в алгебре существует элемент , обладающий свойством единицы, то есть , то данная алгебра называется алгеброй с единицей , а элемент - единицей алгебры .

2. Примеры некоммутативных алгебр.

1. Множество векторов трехмерного векторного пространства над полем , в котором роль бинарной операции умножения играет векторное произведение векторов.

Определение: Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , который удовлетворяет следующим условиям:

1. ;

2. имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах, т.е. , где ;

3. векторы , и образуют правую тройку векторов.

Обозначение: , где .

Свойства векторного произведения.

1. При перестановки сомножителей векторное произведение меняет знак, то есть

Доказательство: Векторы и коллинеарные, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки , , и , , противоположной ориентации). Следовательно, .

2. Векторное произведение обладает ассоциативным законом относительно операции умножения на скаляр, то есть .

Доказательство : Пусть . Вектор перпендикулярен векторам и . Вектор также перпендикулярен векторам и (векторы , лежат в одной плоскости). Значит, векторы и коллинеарные, сонаправленые (), имеют одинаковую длину ()

Поэтому . Аналогично доказывается при .

3. Два ненулевых вектора и коллинеарные тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, то есть.

Доказательство: . Следовательно, .

В частности, .

4. Векторное произведение обладает законом дистрибутивности умножения относительно сложения, то есть

Выражение векторного произведения через координаты.

Таблица векторного произведения векторов

Пусть зад

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать