Приближенное вычисление интеграла

Содержание

Введение 2

1. Различные методы вычисления определенных интегралов 3

1.1. Метод Симпсона для интегрирования функций F (x ) по

заданному промежутку и его реализация на языке Pascal 4

1.2. Метод Симпсона для интегрирования функции от двух

переменных F (x ,y ) по прямоугольной двумерной области и его

реализация на языке Pascal 5

1.3. Метод Ромберга и его реализация на языке Pascal 7

1.4. Метод Гаусса и его реализация на языке Pascal 10

Заключение 16

Литература 17

Введение

Система программирования Турбо Паскаль представляет собой единство двух в известной степени самостоятельных начал: компилятора с языка программирования Паскаль (язык назван в честь выдающегося французского математика и философа Блеза Паскаля (1623-1662)) и некоторой инструментальной программной оболочки, способствующей повышению эффективности создания программ.

Паскаль – гибкий и развитый в отношении типов данных язык. Привлекательны его рекурсивные возможности, а также поддержка технологии объектно-ориентированного программирования.

Изучение программирования на языке Паскаль может дать хороший старт в огромный и увлекательный мир программирования. Обучение языку программирования проходит намного более эффективно с изучением примеров.

В данной работе рассмотрен пример использования языка программирования высокого уровня Pascal для вычисления определенных интегралов.

1. Различные методы вычисления определенных интегралов.

Приближенное вычисление интеграла,

I = ,

Основано на его замене конечной суммой:

I _n = _k F (x_k ),

где w_k – числовые коэффициенты, а x_k – точки отрезка [x ₀ ,x ₁ ]. Приближенное равенство

I ≈ I _n называется квадратурной формулой , точки x_k – узлами квадратурной формулы, а числа w_k – коэффициентами квадратурной формулы. Разные методы приближенного интегрирования отличаются выбором узлов коэффициентов. От этого выбора зависит погрешность квадратурной формулы.

R _n =‌ ‌.

В модуле integral реализовано несколько методов численного интегрирования как для простых (одномерных), так и для кратных (многомерных) интегралов.

В функции simpson реализован стандартный метод Симпсона для интегрирования функции F (x ) по заданному промежутку, когда число разбиений интервала выбирается заранее. Функция double_simpson является прямым обобщением метода Симпсона на случай интегрирования функции от двух переменных F (x ,y ) по прямоугольной двумерной области.

Функция adaptive_simpson служит для вычисления простых интегралов, она корректирует число и размер разбиений интервала, чтобы ошибка вычисления интеграла попала в заранее заданный интервал. Этот метод называется адаптивным интегрированием . Все современные программы интегрирования так или иначе адаптивны.

В функции romberg запрограммирован еще один метод адаптивного интегрирования – метод Ромберга, в настоящее время, вероятно, один из наиболее популярных. Имеются также функция gauss – одномерная версия метода интегрирования Гаусса. Интерфейсная секция модуля integral приведена в листинге 1.1.

Листинг 1 .1 . Интерфейсная секция модуля integral.

Unit integral;

Interface

Const

Max_dim =10;

Max_deg=96;

Type

Real_fun=function(x:real):real;

Real_fun2=function(x,y:real):real;

Real_vec=array[1..max_dim+1] of real;

Index=array[1..max_dim+1] of word;

Vec_fun=function(j:word; x:real_vec):real;

Var

no_evaluations, highest_level:word;

function simpson(F:real_fun; x0,x1:real; div_no:word):real;

function double_simpson(F:real_fun2; x0,x1,y0,y1:real; x_div,y_div:word):real;

function adaptive_simpson(F:real_fun;x0,x1,eps,eta:real):real;

function romberg(f:real_fun; x0,x1,eps,eta:real; min,max:word):real;

function gauss3(F:real_fun;x0,x1:real; n:word):real;

procedure compute_gauss_coeffs(deg:word);

function gauss(Freal_fun:x0,x1:real; deg:word):real;

1.1. Метод Симпсона для интегрирования функций F ( x ) по заданному промежутку и его реализация на языке Pascal.

Перейдем к секции реализации. Она начинается описанием функции simpson. Стоит сказать несколько слов о выборе узлов и коэффициентов квадратурной формулы Симпсона. Идея трехточечного метода Симпсона заключается в следующем.

Пусть x _m – это средняя точка интервала [x ₀ , x ₁ ] и пусть Q (x ) – единственный полином второй степени, который интерполирует (приближает) подынтегральную функцию F (x ) по точкам x ₀ , x _m и x ₁ . Искомый интеграл аппроксимируется интегралом от функции Q (x