Кривые и поверхности второго порядка 2

Конспект по математике.

Тема: Кривые и поверхности второго порядка.

Выполнила

Ерасова Екатерина

ГМУ 11

Окружность.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра), лежащей в той же плоскости, что и кривая.

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром окружности.

Получим уравнение окружности, если известны ее центр и радиус.

Теорема1. Окружность радиуса с центром в точке имеет уравнение (2)

Доказательство. Пусть - текущая точка окружности. По определению окружности расстояние равно (1)

(1)

По формуле для плоскости получаем, что точки окружности и только они удовлетворяют уравнению

Обе части уравнения неотрицательны. Поэтому после возведения их в квадрат получим эквивалентное уравнение(2).

Если в уравнении(2) раскрыть скобки и привести подобные члены, то вид его изменится. Однако любое уравнение окружности с помощью тождественных преобразований можно привести к виду(2). Для этого достаточно выделить полные квадраты по переменным и .

Сфера (частный случай эллипсоида)

Сферой называется геометрическое место точек пространства, равноудаленных от фиксированной точки, называемой центром.

Теорема 13.1 Сфера радиуса с центром в точке имеет уравнение (13.2)

Доказательство аналогично доказательству теоремы (1)

ЭЛЛИПС.

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний от двух фик­сированных точек плоскости, называе­мых фокусами, есть постоянная величина; требуется, чтобы эта по­стоянная была больше расстояния между фокусами. Фокусы эллипса при­нято обозначать через F₁ и F_2.

Пусть М —произвольная точка эллипса с фокусами F ₁ и F _2. Отрезки F ₁ М и F ₂ М (так же как и длины этих отрезков) назы­ваются фокальными радиусами точки М. По­стоянную сумму фокаль­ных ра­диусов точки эллипса принято обозначать через 2а. Таким образом, для любой точки М эллипса имеем:

F ₁ М + F ₂ М = 2а.

Расстояние F₁ и F₂ между фокусами обозначают через 2с. Пусть дан какой-нибудь эллипс с фоку­сами F₁ ,F_2.

Возьмем на плоскости произвольную точку М и обозначим ее координаты через х и у. Обозначим, далее, через r ₁ и r ₂ расстояния от точки М до фокусов ( r ₁ = F ₁ М, r ₂ = F ₂ М). Точка М будет нахо­диться на данном эллипсе в том и только в том случае, когда

r ₁ + r ₂ = 2а.

Чтобы получить искомое уравнение, нужно в равенстве заменить переменные r ₁ и r ₂ их выраже­ниями через координаты х, у.

Заметим, что так как F ₁ F ₂ = 2с и так как фокусы F ₁ и F ₂ распо­ложены на оси Ох симметрично от­носительно начала координат, то они имеют соответственно координаты (—с; 0) и (+с; 0); при­няв это во внимание находим:

Заменяя r ₁ и r ₂ , получаем:

Это и есть уравнение рассматриваемого эллипса, так как ему удовлетворяют координаты точки

М (х; у), когда точка М лежит на этом эллипсе. Возведёмобе части равенства в квадрат, полу­чим:

или

Возводя в квадрат обе части последнего равенства, найдем:

а² х² — 2а² сх + а² с² + а² у² = а⁴ — 2а² сх + с² х² ,

откуда

(а² —с² )х² + а² у² = а² (а² —с² ).

Здесь мы введем в рассмотрение новую величину

;

а>с, следовательно, а² —с² >0 и величина b —вещественна.

b² = a² —c² ,

тогда

b² x² + a² y² = a² b² ,

или

.

Это уравнение называется каноническим уравнением эллипса.

Уравнение

,

определяющее эллипс в некоторой системе декартовых прямоугольных координат, есть уравнение второй степени; таким образом, эллипс есть линия второго порядка.

Эксцентриситетом эллипса называется отношение рас­стояния между фокусами этого эллипса к длине его больш

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать