О некоторых применениях алгебры матриц

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. Бербекова

Математический факультет

Кафедра геометрии и высшей алгебры

Лакунова Залина

Дипломная работа

«О некоторых применениях алгебры матриц»

Научный руководитель:

д.ф.-м.н.,проф.каф. Г и В А /В.Н.Шокуев /

Рецензент:

к.ф.-м.н.,доцент /В.М.Казиев/

Допущена к защите 2002г.

Заведующий кафедрой

к.ф.-м.н.,доцент /А.Х.Журтов/

Нальчик2002

Оглавление

стр.

Введение 3

§1. О правиле Крамера 4

§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел 9

§3. Матричный вывод формулы Кардано 17

Литература 21

Отзыв

О дипломной работе «О некоторых применениях алгебры матриц».

Студентки 6 курса МФ специальности «математика» Лакуновой З.

В данной дипломной работе рассматривается новые применения матриц в теории систем линейных уравнений, теории чисел и теории алгебраических уравнений малых степеней.

В §1 дается новый (матричный) вывод правила Крамера для решения любых квадратных систем линейных уравнений с неравным нулю определителем.

В §2 получено тождество (1) , которое используется для доказательства некоторых теоретико-числовых фактов (предложения 1-4); при этом основную роль играют матрицы- циркулянты и их определители. Здесь попутно доказана теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом трех положительных чисел.

В §3 дается новый вывод правила Кардано для решения кубических уравнений; его можно назвать «матричным выводом» , поскольку он опирается на свойства циркулянта (третьего порядка).

Считаю, что результаты получения в дипломной работе студентки Лакуновой З. удовлетворяют требованиям, предъявляемым к дипломным работам, и могут быть допущены к защите.

Предварительная оценка – «хорошо»

д.ф.-м.н., проф.каф. Г и ВА /В.Н.Шокуев/

§1. О правиле Крамера

В литературе известны разные способы решения Крамеровой системы линейных алгебраических уравнений. Один из них – матричный способ – состоит в следующем.

Пусть дана Крамерова система, т.е. квадратная система линейных уравнений с неизвестными

(1)

Определитель которой отличен от нуля:

(2)

Систему (1) можно представить в виде одного матричного уравнения

(3)

где - матрица коэффициентов при неизвестных системы (1),

(4)

- столбец (Матрица-столбец) неизвестных

- столбец свободных членов системы (1)

Так как , то матрица невырожденная и для нее существует обратная матрица . Умножив равенство (3) на (слева), получим (единственное) решение системы в следующей матричной форме (в предположении, что она совместима и - ее решение)

,

где обратная матрица имеет вид:

(-алгебраическое дополнение элемента в определителе )

Другой известный способ можно назвать методом алгебраических дополнений . Его использование предполагает владение понятием алгебраического дополнения как и в матричном способе, теоремой о разложении определителя по столбцу (строке), теоремами о замещении и об аннулировании.

Предлагаемый нами новый метод опирается на теорему Коши-Бине об определителе произведения матриц.

Суть этого метода можно понять легко, если сначала рассмотрим случай . Очевидно, что при выполняются следующие матричные равенства (если задана система (1)):

Переходя к определителям в этих равенствах и обозначив определители правых частей соответственно через получим формулы Крамера:

()

(Правило Крамера)

Переход к общему случаю Крамеровых систем (1) порядка ничего по существу не меняет. Просто следует заметить, что матрица с определителем получается из единичной матрицы заменой -го столбца столбцом неизвестных:

(5)

Теперь из равенств

,

где - матрица, получающаяся заменой - го столбца матрицы столбцом свободных членов системы (1), причем к формулам Крамера, взяв определители от обеих частей в каждом равенстве:

, откуда ввиду имеем

.

(здесь получается из , как и из ).

Другой, еще более короткий способ отыскания решения системы (1) состоит в следующем (по-прежнему ): пусть система (1) совместна и числа (после переобозначений) образуют ее решение. Тогда при имеем, используя два линейных свойства определителя:

Можно начать и с определителя , в котором вместо свободных членов в -м столбце подставлены их выражения согласно (1); используя соответствующие свойства определителя, получим:

(),

откуда и получаются формулы Крамера.

Замечание. Проверка того, что значения неизвестных, определяемые по формуле Крамера удовлетворяют системе (1), (т.е. образуют решение системы), производится одним из известных способов.

§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел .

Матрица вида:

- называется циклической матрицей или циркулянтом (третьего порядка), а ее определитель – циклическим определителем. Циклическим определителем некоторые авторы называют также циркулянтом.

Пусть дан циклический определитель (Циркулянт)

.

Прибавив первые две строки к т

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать