Экстремумы функций многих переменных

Министерство общего и высшего образования Российской Федерации

Иркутский Государственный Технический Университет

Кафедра ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ

Реферат

На тему : “ Экстремумы функций многих переменных ”

Выполнил :

Студент группы ТЭ-97-1

Мартынов Ф.О.

Проверила :

Преподаватель кафедры

Седых Е.И.

Иркутск 1998
План реферата :

1. Понятие экстремума........................... 2

2. Необходимые условия экстремума.. 3

3. Достаточные условия экстремума... 6

4. Локальные экстремумы.................... 8

5. Условные экстремумы...................... 9

Экстремумы функций многих переменных.

Для начала рассмотрим необходимые условия экстремума функции, также определим понятие экстремума.Начнем с понятия экстремума:

Положим, что имеется некоторая функция с двумя переменными

Определение : Точка называется точкой экстремума (максимума или минимума)

функции , если есть соответственно наибольшее или наименьшее значение функции в некоторой окрестности точки .

При этом значение называетсяэкстремальным значением функции (соответственно максимальным или минимальным ). Говорят также, что функция имеет в точке экстремум (или достигает в точке экстремума).

Заметим, что в силу определения точка экстремума функции лежит внутри области определения функции, так что функция определена в некоторой (хотя бы и малой) области, содержащей эту точку. Вид поверхностей, изображающих поверхности функций в окрестности точек экстремума показан на рис. 1.

Теперь установим необходимые условия, при которых функция достигает в точке экстремума; для начала будем рассматривать только дифференцируемые функции.

Необходимый признак экстремума : Если в точке дифференцируемая функция имеет экстремум, то ее частные производные в этой точке равны

нулю :

, .

Доказательство : Допустим, что функция имеет в точке экстремум.

Согласно определению экстремума функция при постоянном, как функция одного достигает экстремума при . Как известно, необходимым условием для этого является обращение в нуль производной от функции при ,

т. е.

Аналогично функция при постоянном , как функция одного , достигает экстремума при . Значит,

Что и требовалось доказать.

Точка , координаты которой обращают в нуль обе частные производные функции , называется стационарной точкой функции .

Уравнение касательной плоскости к поверхности :

для стационарной точки принимает вид

Следовательно, необходимое условие достижения дифференцируемой функцией экстремума в точке геометрически выражается в том, что касательная плоскость к поверхности - графику функции в соответствующей ее точке параллельна плоскости независимых переменных.

Для отыскания стационарных точек функции нужно приравнять нулю обе ее частные производные

, . (*)

и решить полученную систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Пример 1 : Найдем стационарные точки функции

Система уравнений (*) имеет вид:

Из второго уравнения следует, что или , или

Подставляя по очереди эти значения в первое уравнение, найдем четыре стационарные точки:

Какие из найденных точек действительно являются точками экстремума, мы установим после приведения достаточного условия экстремума.

Иногда удается, и, не прибегая к достаточным условиям, выяснить характер стационарной точки функции. Так, если из условия задачи непосредственно следует, что рассматриваемая функция имеет где- то максимум или минимум и пи этом системе уравнений (*) удовлетворяет только одна точка (т. е. Одна пара значений x и y ), то ясно, что эта пара и будет искомой точкой экстремума функции.

Заметим, наконец, что точками экстремума непрерывной функции двух переменных могут быть точки, в которых функция недифференцируема (им соответствуют острия поверхности - графика функции).

Так, например, функция имеет, очевидно, в начале координат минимум, равный нулю, но в этой точке функция недифференцируема; график этой функции есть круглый конус с вершиной в начале координат и осью, совпадающей с осью .

Следовательно, если иметь в виду не только дифференцируемые, но и вообще непрерывные функции, то нужно сказать, что точками экстремума могут быть стационарные точки и точки, в которых функция недифференцируема.

Вполне аналогично определяется понятие экстремума функции любого числа независимых переменных.

и устанавливаются необходимые условия экстремума. Именно: Дифференцируемая функция n переменных может иметь экстремумы только при тех значениях x, y, z,..., t , при которых равны нулю все ее n частных производных первого порядка:

Эти равенства образуют систему n уравнений с n неизвестными.

Теперь определим дос

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать