Теоремы тригонометрии

Содержание:

I Введение...................................................................................................... 3

Вступление................................................................................................. 3

Треугольники............................................................................................. 4

II Основная часть.......................................................................................... 8

Общие сведения о тригонометрических функциях............................ 8

Теоремы.................................................................................................... 13

Теорема о площади треугольника:................................................... 13

Теорема синусов:................................................................................. 14

Теорема косинусов:............................................................................. 16

Задачи........................................................................................................ 17

III Заключение............................................................................................ 20

Список литературы.................................................................................... 21

Синус, косинус, тангенс, котангенс.

· Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе (AB/OB).

· Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе (ОА/OB).

· Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету (AB/OA).

· Котангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к противолежащему катету (ОА/AB) .

Значения тригонометрических функций.

Значения тригонометрических функций для некоторых углов.

0°(0 рад)	30° (π/6)	45° (π/4)	60° (π/3)	90° (π/2)	180° (π)	270° (3π/2)	360° (2π)
N/A	N/A
N/A	N/A	N/A

Значения косинуса и синуса на окружности.

Свойства тригонометрических функций

Так как синус и косинус являются соответственно ординатой и абсциссой точки, соответствующей на единичной окружности углу α то, согласно уравнению единичной окружности или основному тригонометрическому тождеству, имеем:

Деля это уравнение на квадрат косинуса и синуса соответственно, имеем далее:

Формулы приведения:

sin(90° - α) = cosα

cos(90° - α) = sinα

sin(180° - α) = sinα

cos(180° - α) = - cosα

Чётность и нечетность функций.

Чётная функция - функция y = f ( x ) называется чётной, если область её определения симметрична относительно 0 и для любого значения аргумента Х верно равенство

f (- x ) = f ( x )

Нечётная функция - функция, область её определения симметрична относительно 0 и для любого значения аргумента Х верно равенство

f(- x) = - f( x)

Косинус — единственная чётная функция. Остальные три функции — нечётные, то есть:

Теоремы

Теорема о площади треугольника:

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон на синус угла между ними. S = ½ ab sin C

Дано:

∆ АВС, АВ= с, ВС = a , СА = b , h - высота

Доказать:

S = ½ absinC

Доказательство:

Введём систему координат с началом в точке С так, чтобы точка В лежала на положительной полуоси Сх , а точка А имела положительную ординату. Площадь данного треугольника можно вычислить по формуле S = ½ ah , где h – высота треугольника. Но h равна ординате точки А , т.е. h = b sinC (т.к. sinC = h / b ) => S = ½ absinC

Ч.т.д.

Теорема синусов:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. a/ sinA = b/ sin B = c/ sinC

Дано:

∆АВС АВ= с, ВС= а, СА= b

Доказать :

a/ sinA = b/ sin B = c/ sinC

Доказательство:

По теореме о площади треугольника S= ½ absinC, S = ½ bcsinA, S= ½ acsinB.

Из первых двух равенств получаем ½ absinC = ½ bcsinA,

½ ab sinC = &f

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать