Структура сходящихся последовательностей

Последовательность, у которой существует предел, называется сходящейся. Последовательность не являющаяся сходящейся называется расходящейся.

Определение: Последовательность {x_n } называется сходящейся, если существует такое число а, что последовательность {x_n -а} является бесконечно малой. При этом число а называется пределом последовательности {x_n }.

В соответствии с этим определением всякая бесконечно малая последовательность является сходящейся и имеет своим пределом число ноль.

Можно, также, дать еще одно определение сходящейся последовательности: Последовательность {x_n } называется сходящейся, если существует такое число а, что для любого положительного числа e можно указать номер N такой, что при n³N все элементы x_n этой последовательности удовлетворяют неравенству:

|x_n -a|<e.

Некоторые свойства сходящихся последовательностей:

ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство: Пусть a и b – пределы сходящейся последовательности {x_n }. Тогда, используя специальное представление для элементов x_n сходящейся последовательности {x_n }, получим x_n =а+a_n , x_n =b+b_n , где a_n и b_n – элементы бесконечно малых последовательностей {a_n } и {b_n }.

Вычитая данные соотношения, найдем a_n -b_n =b-a. Так как все элементы бесконечно малой последовательности {a_n -b_n } имеют одно и то же постоянное значение b-a, то (по теореме: Если все элементы бесконечно малой последовательности {a_n } равны одному и тому же числу с, то с=0) b-a=0, т.е. b=a. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство: Пусть {x_n } - сходящаяся последовательность и а – ее предел. Представим ее в следующем виде:

x_n =а+a_n ,

где a_n - элемент бесконечно малой последовательности. Так как бесконечно малая последовательность {a_n } ограничена (по теореме: Бесконечно малая последовательность ограничена.), то найдется такое число А, что для всех номеров n справедливо неравенство |a_n |£А. Поэтому | x_n | £ |a| + A для всех номеров n, что и означает ограниченность последовательности {x_n }. Теорема доказана.

Ограниченная последовательность может и не быть сходящейся. Например, последовательность 1, -1, 1, -1, … - ограничена , но не является сходящейся. В самом деле, если бы эта последовательность сходилась к некоторому числу а, то каждая из последовательностей {x_n -a} и {x_n+1 -a} являлась бы бесконечно малой. Но тогда (по теореме: Разность бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.) {(x_n -a) – (x_n+1 -a)}={x_n – x_n+1 } была бы бесконечно малой, что невозможно т.к. |x_n – x_n+1 | = 2 для любого номера n.

ТЕОРЕМА: Сумма сходящихся последовательностей {х_n } и {y_n } есть сходящаяся последовательность, предел которой равен сумме пределов последовательностей {х_n } и {y_n }.

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {х_n } и {y_n }. Тогда:

x_n =а+a_n , y_n =b+b_n ,

где {a_n } и {b_n ) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (х_n + y_n ) - (а + b) =a_n +b_n .

Таким образом, последовательность {(х_n + y_n ) - (а + b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {х_n + y_n } сходится и имеет своим пределом число а+b. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Разность сходящихся последовательностей {х_n } и {y_n } есть сходящаяся последовательность, предел которой равен разности пределов последовательностей {х_n } и {y_n }.

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {х_n } и {y_n }.Тогда:

x_n =а+a_n , y_n =b+b_n ,

где {a_n } и {b_n ) – бесконечно малые последовательности. Следовательно, (х_n - y_n ) - (а - b) =a_n -b_n .

Таким образом, последовательность {(х_n - y_n ) - (а - b)} бесконечно малая, и поэтому последователдьность {х_n - y_n } сходится и имеет своим пределом число а-b. Теорема доказана.

ТЕОРЕМА: Произведение сходящихся последовательностей {х_n } и {y_n } есть сходящаяся последовательность, предел которой равен произведению пределов последовательностей {х_n } и {y_n }.

Доказательство: Пусть а и b – соответственно пределы последовательностей {х_n } и {y_n }, то x_n =а+a_n , y_n =b+b_n и x_n ×y_n =a×b+a×b_n +b×a_n +a_n ×b_n . Следовательно,