Общее понятие определённого интеграла, его геометрический и механический смысл

Кафедра: Высшая математика

Реферат

по дисциплине Высшая математика

Тема: «Общее понятие определённого интеграла, его геометрический и механический смысл. Необходимое условие интегрируемости»

Тольятти, 2008.

Содержание

Введение

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Связь между определенным и неопределенным интегралами. Формула Ньютона-Лейбница

Свойства определенного интеграла

Геометрический смысл определенного интеграла

Механический смысл определенного интеграла

Необходимое условие интегрируемости

Список использованной литературы

Введение

Интеграл (от лат. integer – целый), одно из важнейших понятий математики, возникшее в связи с потребностью, с одной стороны, отыскивать функции по их производным (например, находить функцию, выражающую путь, пройденный движущейся точкой, по скорости этой точки), а с другой – измерять площади, объёмы, длины дуг, работу сил за определённый промежуток времени и т.п. Соответственно с этим различают неопределенные и определённые интегралы, вычисление которых является задачей интегрального исчисления.

Определенный интеграл – одно из основных понятий математического анализа – является мощным средством исследования в математике, физике, механике и других дисциплинах.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Задача о пройденном пути.

Пусть известен закон изменения мгновенной скорости v = v(t). Определим путь, пройденный при движении точки за промежуток времени от t = α до t = β. Движение в общем случае предполагается неравномерным.

Поступим следующим образом.

1). Разобьем весь промежуток времени на n произвольных интервалов

t₀ = α < t₁ < t₂ < … < t_{i -1} < t_i < … t_{n -1} < t_n = β,

где t_i – t_{i -1} = Δt_i . На произвольном участке [t_{i -1} , t_i ] будем считать движение близким к равномерному с постоянной скоростью v = v(τ_i ), t_{i -1} ≤ τ_i ≤ t_i . Тогда за время Δt_i пройденный путь приближенно равен s_i = v(τ_i )Δt_i . Результат справедлив для каждого интервала (i = 1, 2, …, n).

2). Если указанные интервалы достаточно малы, то весь путь приближенно равен сумме:

Эта формула тем точнее, чем мельче разбиение данного промежутка времени.

3). Для получения точной формулы пути перейдем к пределу, увеличивая число дроблений (n→∞) и бесконечно измельчая сами интервалы. Обозначим λ = Δt_i , тогда

Задача о количестве вещества, вступившего в реакцию.

Пусть скорость химического превращения некоторого вещества, участвующего в химической реакции, есть функция времени v = v(t). Найти количество m вступившего в реакцию вещества за промежуток времени от t₀ до T. Проделаем последовательно те же операции, что и при решении предыдущей задачи. В результате получим:

Работа переменной силы.

Пусть материальная точка под действием постоянной силы F перемещается по направлению этой силы. Если пройденный путь равен s, то, как известно из курса физики, работа Р этой силы F вычисляется по формуле: Р = F_S .

Пусть теперь материальная точка движется по оси Ох от точки А(а) до точки B(b) (b>a) под действием переменной силы, направленной по Ох и являющейся функцией от х: F = f(x).

Для нахождения работы Р в этом случае разобьем отрезок [a; b] точками a = x₀ <x₁ <…<x_n = b на n частичных отрезков и положим: Δx_i = x_i – x_{i -1} , i = 1, 2, ..., n. Наибольшую из этих разностей обозначим через λ = maxΔx_i . Если эти отрезки достаточно малы, то без большой ошибки на каждом из них силу F можно считать постоянной (равной f(τ_i )), что дает приближенное выражение для работы

,

где τ_i – одна из точек сегмента [x_{i -1} , x_i ]. Отсюда:

Задачи о площади криволинейной трапеции.

Пусть на промежутке [a; b] задана функция f(x)≥0. Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная указанной кривой y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью Оx. (рис.1). Для вычисления ее площади проделаем несколько операций.

Рис. 1.

1). Разобьем промежуток [a; b] произвольными точками x₀ =a<x₁ <x₂ <…<x_{i -1} <x_i <…<x_n =b на n частей. Положим Δx_i = x_i – x_{i -1} , то есть Δx_i есть длина i-го частичного отрезка, а наибольшую из этих длин обозначим λ, (λ=maxΔx_i ).

2). На каждом отрезке [x_{i -1} , x_i ] возьмем по произвольной точке c_i ,

x_{i -1} <c_i < x_i и вычислим f(c_i

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать