Современное развитие математики

J. Diedonné

(ПереводА. С. Дынина)

С год назад я довольно легко принял приглашение сделать этот доклад (на конференции, посвящённой Ван Флек Холлу в Висконсинском университете), но ближе к сроку я начал осознавать подстерегавшие меня ловушки и свою опрометчивость. Если я затрону так много вопросов, для всякого моего утверждения среди слушателей обязательно найдётся такой, который разбирается в данном предмете гораздо лучше меня, и поэтому с полным правом возразит против моих поверхностных замечаний. Но я опасался, что окажусь мишенью ещё более жестокой критики за тот выбор, который мне пришлось сделать: совершенно очевидно, что в таком кратком обзоре какой-то выбор необходим, так что пришлось решать, что? важно и что? нет. Но поскольку здесь нет объективных критериев, я по необходимости решил просто последовать своим вкусам. Я старался, однако, не уподобиться тем из моих коллег, которые так увлечены красотой своего крохотного уголка в какой-нибудь крайне специализированной области, как будто это единственно важная вещь в целом свете. Чтобы уравновесить опасность субъективности, я принял во внимание высказывания, которые слышал от некоторых из лучших математиков нашего времени. Каюсь, это не слишком демократично, но боюсь, что я не очень верю в демократию, особенно в науке. Чтобы уяснить положение вещей, я выбрал в качестве отличительных признаков сегодняшней математики решения некоторых выдающихся проблем, завещанных прежними поколениями математиков. Я охотно допускаю, что есть некоторые основания для утверждения, что можно проявить больше изобретательности при распутывании, скажем, структуры какой-нибудь причудливой неассоциативной алгебры, чем при решении пятой проблемы Гильберта или опровержении гипотезы Бернсайда, но я не слишком восприимчив к такого рода аргументам и здесь во многом следую К. Л. Зигелю или А. Вейлю.

Математика развивается, по существу, двумя различными путями. Математики, которых я мог бы назвать тактиками, штурмуют задачу, используя только старое испытанное оружие и попросту полагаясь на свою способность по-новому скомбинировать традиционные рассуждения и таким образом добиться решения, ускользавшего при прежних попытках. Напротив, стратеги никогда не удовлетворяются, пока понятия, охватываемые проблемой, не будут столь тщательно проанализированы, а их связи так ясно освещены, что окончательное решение представится почти тривиальным. Конечно, это может потребовать длительного и утомительного развития на первый взгляд посторонних очень общих теорий, которые иные считают несоразмерными с первоначальной задачей.

Я уверен всё же, что оба подхода существенны для процветания математики. Чрезмерная установка на индивидуальную силу без соответствующего обновления методов и перспективы вполне способна довести до бесплодности вследствие интенсивной концентрации на незаслуженно возвеличенных мелких аспектах теории. С другой стороны, последовательный любитель общности тоже зачастую теряет из виду правильные мотивировки и предаётся бесконечному выдуванию всё более пустых теорий. У лучших математиков обе эти тенденции счастливо сливаются в гармонически уравновешенное и плодотворное сочетание, чему Гильберт, возможно, лучший пример. Поэтому должно быть совершенно ясно, что, придерживаясь (несколько вольно) указанной классификации, я не собираюсь ни в коей мере превозносить один тип результатов над другим.

В качестве последнего предварительного вопроса мне надо было решить, что? подразумевать под «современным» развитием. Я думаю, что должным образом очертить задний план можно, вернувшись примерно к окончанию Второй мировой войны. Будущие историки могут поразмыслить над тем любопытным фактом, что конец обеих мировых войн сопровождался замечательным взрывом научного творчества, и искать социологические или психологические объяснения этому явлению, но я думаю, что никто не станет сомневаться в его реальности. Одна из моих целей — как раз показать, что, хотя многое из математических исследований после 1945 г. явилось естественным продолжением предшествующей работы, всё же значительная их часть заключается в выявлении радикально новых отправных точек, которые, по моему мнению, возвещают новую эру в математике.

Обратимся прежде всего к новым результатам, которые могли быть получены 30 или 50 лет назад. Среди наиболее замечательных — окончательный вариант Рота аппроксимационной. теоремы Туэ–Зигеля из теории чисел и великолепные работы Дж. Томпсона о конечных группах, особенно его доказательство (совместное с Фейтом) старой гипотезы Бернсайда, что все конечные простые некоммутативные группы имеют чётный порядок. Я имею в виду, что многое из доказательства этой теоремы могли найти Фробениус или Шур в начале девятисотых годов. Вероятно также (если судить по предварительным сообщениям), что пример, которым Новиков опровергает другую знаменитую гипотезу Бернсайда о конечно порождённых группах, не требует никакой более современной техники. Наконец, я мог бы отнести к той же категории многое из сенсационного оживления, происходящего в алгебраической топологии и возродившего отчасти её первоначальную геометричность, но всё это трудно отделить от других её достижений совершенно иной природы, и я предпочитаю отложить обсуждение до более позднего раздела доклада.

После этих волнующих примеров воздействия свежего воображения на старые проблемы выступает несколько иная и гораздо более обширная категория результатов, которые я рискну на