Квадратичные формы

Оглавление.

Введение…………………………………………………………………2

Глава 1. Теоретическая часть…………………………………………4

1.1. Квадратичная форма и ее матрица………………………………4

1.2. Преобразование квадратичной формы при линейном однородном преобразовании переменных………………………………8

1.3. Приведение действительной квадратичной формы к нормальному виду…………………………………………………………9

1.4. Закон инерции квадратичных форм……………………………12

1.5. Знакоопределенные квадратичные формы……………………13

1.6. Приведение квадратичной формы к каноническому виду ортогональным преобразованием переменных……………………15

1.7. Упрощение уравнений фигур второго порядка на плоскости и в пространстве……………………………………………………..15

Глава 2. Практическая часть…………………………………………23

Список использованной литературы…………………………………25

Введение.

Арифметическая теория квадратичных форм берет свое начало с утверждения Ферма о представимости простых чисел суммой двух квадратов.

Теория квадратичных форм впервые была развита французским математиком Лагранжем, которому принадлежат многие идеи в этой теории, в частности, он ввел важное понятие приведенной формы, с помощью которого им была доказана конечность числа классов бинарных квадратичных форм заданного дискриминанта. Затем эта теория была значительно расширена Гауссом, который ввел много новых понятий, на основе которых ему удалось получить доказательства трудных и глубоких теорем теории чисел, ускользавших от его предшественников в этой области

Изучение основ теории билинейных и квадратичных форм вызывает ряд трудностей методического характера, обусловленных существованием нескольких различных подходов к построению этой теории. Принятое изложение, основанное на теории унитарных и евклидовых пространств и содержит единый подход к изучению симметричных и эрмитовых форм.

При изучении квадратичных форм необходимо знание классических понятий теории унитарных и евклидовых пространств и основных свойств самосопряженных и унитарных (ортогональных) линейных операторов. Общими обозначениями являются: P – основное поле, под которым мы будем понимать поле комплексных чисел C или поле действительных чисел R. α - комплексное число, сопряженное к комплексному числу α ( α= α . α . R); |α| - модуль комплексного числа α. L - линейное пространство над полем P. В случае, когда размерность линейного пространства L равна n (L = Ln) будем считать L унитарным (при P = C ) или евклидовым (при P = R ) пространством, так как на любом конечном пространстве Ln над полем C или R можно определить скалярное произведение. Для любых векторов x, y . Ln (x, y) обозначает их скалярное произведение. Остальные обозначения или являются общепринятыми в линейной алгебре.

Целью курсовой работы является рассмотрение квадратичной формы и ее свойств.

Перейдем теперь к краткой характеристике содержания курсовой работы, посвященной некоторым вопросам теории неопределенных бинарных квадратичных форм.

В теоретической части работы приводятся предварительные общие сведения квадратичных формах и ее свойств.

В практической части курсовой работы представляется решение задач по заданной теме.

Глава 1. Теоретическая часть.

1.1. Квадратичная форма и ее матрица.

Квадратичной формой называется функция B(x) = A(x,x) из линейного пространства L над произвольным полем F характеристики не 2 в поле F, которая получается из билинейной формы A(x,y) при x = y.

При фиксированном базисе в L квадратичная форма имеет вид (по соглашению Эйнштейна), где , а aij =aji.

Квадратичной формой f (x₁ ,x₂ …,x_n ) п действительных переменных (x₁ ,x₂ …,x_n ) называется сумма вида:

(1.1)

или f(x_1, x_2,… x_n ) = ∑_{i =1} ∑ _{j =1} a_ij x_i x_{j ,} (1.2), где a_ij - некоторые числа, называемые коэффициентами.

Не ограничивая общ­ности, можно считать, что a_{ij =} a_{ji .} Квадратичная форма называется действительной или комплексной в зависимости от того, являются ли ее коэффициенты соответственно действительными или ком­плексными числами. Будем рассматривать действительные квадратичные формы.

Квадратичная форма обладает следующими свойствами:

1) Симметричную билинейную форму A(x,y), называют полярной квадратичной форме A(x,x). Матрица билинейной формы в произвольном базисе совпадает с матрицей полярной ей билинейной формы в том же базисе.

2) Если матрица квадратичной формы имеет полный ранг, то квадратичную форму называют невырожденной, иначе - вырожденной.

3) Квадратичная форма A(x,x) называется положительно (отрицательно) определённой, если для любого x≠ 0 A(x,x) > 0 (A(x,x) < 0). Положительно определённые и отрицательно определённые формы называются знакоопределёнными.

Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.

Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.

4) Квадратичная форма A(x,x) называе

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать