Шпаргалки по высшей математике (1 курс)

Основные понятия мат анализа. Матем -наука о простых формах и количеств отношений окружающего нас мира. Переменой величиной наз величина d ринимает различн числовые значения. величина значения d не меняется наз постоянной величиной. Совокупность всех числовых значений переменой величины наз областью изменения этой переменной . Окрестность - х0 наз производный интервал (a;b) содержащий эту -. If каждому значению переменной х э неd области соответствует 1 определенное значение др переменой у, то у есть f(х)=у . способы задания f . 1)таблица 2)графический совокупность - M(х;у) не лежащих на прямой // оу, определяет зависимость у=f(х) 3)аналитический. Аналитическим выражением наз символическое обознач совокупности известных матем операций d производятся в определ последовательности над числами и буквами обозначающиеем постоянные и переменные величины. if f зависимость у=f(х) такова, что f обозначается аналитич выражением, то f задана аналитически . F f(х) наз периодической if $t: "х f(х+t)=f(x). Четная, нечетная, монотонная f. Элементарные f. 1)постоянная у=с, с-действительное число; 2)степенная у=х^а, а-д.ч. 3)показательная у= f^х a>xa≠1 4)логорифмическая у=logaxa>xa≠1, 5)тригонометрические 6)обратные тригонометрические. Предел функции. (Коши) число а наз lim f f(х) в - х0б if для " Е>0 $ б>0, такое что для всех х0 х э Ω, х ≠ 0 и удовлетвор |х-х0|<б верно |f(х)-А|<Е. (Гейне) число А наз lim f f(х), if " последовательности хn (хnÎW, хn­­­­­¹х0), сходящейся к · х0, соответствующая последовательность значений f сходится к числу А. Оба определения эквивалентна, т.е. if f f(х) имеет предел А в смысле определения I, то она имеет тот же предел А в смысле определения II, и наоборот. Замечание. if f(х)-в при х-а, так что х<а, то lim f(х)=в (х-а-0). Опр. If lim спр or сл =, то это будет lim в смысле данного выше опр. Для сущ lim f приемного отделения х-а не требуется чтобы f была опр в - а. БМВ . F α(х) наз бмс х-а if α(х)=0 if для "Е $ б: |x-α|<б- |α(х)|<Е. св-ва 1) if α(х) и β(х)-бм f при х-х0, то их Σ α(х)+β(х) и произвед=бм f при х-х0 2)f(х)-ограниченая f α(х)*β(х)=бм f при х-х0 3)α(х)-бм при х-х0, f(х) имеет в - х0 конечный предел, lim f(х)=А, то f α(х)*f(х) и α(х)/f(х)=бм при х-х0 4)if α(х) бм при х-а но не обращ в 0, то у=1/α(х)=∞. Основные Т о пределах. 1) lim Σ конечного числа f= Σ их lim, if они сущ. Д . (х-а) α1,α2-бм lim u1=a1, limu2=a2, u=u1+u2, u1=a1+α1, u2=a2+α2; lim u=lim(u1+u2)=lim (a1+a2 +α1+α2) =a1+a2 2) lim произведения конечного числа f= произведению lim, if они сущ. Lim аналогично. Следствие: const множитель можно выносить за знак lim. 3) lim частного= частному lim, if знаменатель ≠ 0. Д .(х-а) lim (u(x)/v(x))=(limu(x))/(;imv(x), limv(x)≠0, Limu=a1,limv=a2≠0;u=a1+α, v=a2+β;α,β-бм;u/v=(a1+α)/(a2+β)=a1/a2+(a1+α)/(a2+β)–a1/a2= a1/a2 + (α*a2-β*a1)/(a2(a2+β)), u/v=a1/a2+γ, lim(u/v)=a1/a2 4) if для соответствующих значений 3 fu(x), z(x), v(x) выполняется неравенство u≤z≤v и lim u(x)=limv(x)=b-limz(x)=bД . u-b≤z-b≤v-b"E$ б1 |x-a|<б1-|u(x)-b|<E, $ б2 |x-a|<б2-|v(x)-b|<E б=min(б1,б2), -E<u-b<E –E<u-b≤z-b≤v-b<E, -E<v-b<E –E<z-b<E |z-b|<E5) ify≥0, limy=b-b≥0 Д . b<0 |y-b|≥|b| E=|b|, $ < |y-b|<E=|b| пришли к противоречию. Замечание: if у>, то Т тоже выполняется в той же формулировке (b≥0). 6) ifv≥u в неd окрестности - а lim v≥limuД . v-u≥a-lim (v-u) ≥0-limv-limu≥0-limv≥limuСравнение бмв . (x-a)О . iflim(α/β)≠0, lim(β/α)≠0, то α и β наз бмв одного порядка (zbx^2 и 2x^2). O iflimβ/α=0, то β-бм - высокого порядка чем α.О бмв β наз бм n^го порядка относительно α, if lim β/αⁿ =A≠0. О. if lim β/α=1, то α,β –эквивалентные бмв. Т. If α, β-экивалентные бмв, то α-β-бмв - более высшего порядка, чем α и β. Д . lim ((α-β)/α)=lim(1-β/α)=1-1=0 1 Зам lim. S_ΔMOA <S_{сект MCA} <S_ΔCOA ; S_ΔMOA =½OA*MB= ½ sinx; S_{сект MCA} = ½ x*1= ½ x; S_{Δ COA} = ½ OA*AC= ½ tgx; sinx<x<tgx |:x; 1<x/sinx<1/cosx; 1>sinx/x>cosx; sinx/x-1; sin(-x)/-x=sinx/x; cos (-x)=cosx2 зам lim. Т . переменная величина (1+ 1/n)ⁿ , при n-∞ имеет lim заключенный между числами 2 и 3. (1-1/n)ⁿ =1+n*1/n+n(n-1)/2n² +n(n-1)(n-1)/(2*3*n³ )…=1+1+½(1-1/n){<1}+ 1/(1*2*3) (1-1/n{<1})(1-2/n{<1})+…+1/(1*2*…n)*(1-1/n{<1})*(1-2/n{<1})…(1-(n-1)/n). При переходе от n к n+1 добавляется 1 слагаем