Методы и приемы решения задач

1. Дополнительное построение

Продли медиану

Характеристика метода. Довольно часто, когда в условии задачи фигурирует медиана треугольника, бывает полезным продлить ее за точку, лежащую на стороне треугольника, на отрезок, равный самой медиане. Полученная новая точка соединяется с вершиной (вершинами) исходного треугольника, в результате чего образуются равные треугольники. Равенство соответствующих элементов этих треугольников помогает найти неизвестную величину или доказать предложенное утверждение.

Задача. Докажите, что треугольник является равнобедренным, если совпадают проведенные из одной и той же вершины медиана и биссектриса.

Решение. Рассмотрим треугольник ABC (рис. 1). Пусть отрезок BM – его медиана и биссектриса. Продлим BM на отрезок MD = BM . Образовались равные треугольники AMB и MCD (1-й признак равенства треугольников).

Из равенства этих треугольников имеем:

(1) AB = CD и (2) Ð1 = Ð3.

Используя равенство (2) и то, что Ð 1 = Ð 2 (по условию), получим, что треугольник BCD равнобедренный, а, следовательно, BC = CD . Используя полученный вывод и равенство (1) доказываем, что AB = BC , откуда следует истинность утверждения задачи.

2. Принцип непрерывности

Характеристика метода. Пусть величина k (угол, длина, площадь) зависит от положения точки X на отрезке (ломаной или другой линии). Если при одном положении X на отрезке k < 0, а при другом положении X на отрезке k > 0, то найдется такое положение X на этом отрезке, при котором k = 0.

Задача. В равностороннем треугольнике ABC проведена медиана AA 1. Есть ли такая точка X на AA ₁ , из которой отрезок BC виден под прямым углом.

Решение. Будем искать такое положение точки X , при котором ÐBXC = 90°. Начнем мысленно перемещать точку X по отрезку AA ₁ от A к A ₁ . Обозначим величину угла BXC за j.Когда точка X находится достаточно близко от точки A (рис. 2), тогда  мало отличается от 60°, а поэтому j< 90°. Когда точка X находится достаточно близко от (рис. 3), тогда j.

мало отличается от 180°, а поэтому j> 90°. Значит при каком-то положении точки X на AA ₁ j.

= 90°.

3. Метод доказательства «от противного»

Характеристика метода. Имеем для доказательства утверждения вида A ÞB (A – условие, B – заключение). Суть доказательства данным методом состоит в следующем:

1) Предполагаем, что заключение B не выполняется.
2) Путем логических рассуждений приходим к тому, что условие A не выполняется, т. е. получаем противоречие с условием.
3) Дальнейший анализ показывает, что причина полученного противоречия кроется в первоначальном предположении.
4) Делаем вывод, что это предположение неверно и, следовательно, заключение B выполняется (что и требовалось доказать).

Задача. Какое наибольшее число острых углов может быть в выпуклом многоугольнике?

Решение. Легко показать, что три острых угла в многоугольнике может быть (например, в треугольнике). Все попытки построить какой-нибудь выпуклый n -угольник с четырьмя острыми углами оказываются тщетными. Возникает гипотеза: максимальное количество острых углов выпуклого многоугольника – три. Докажем ее.

1) Пусть найдется выпуклый многоугольник с большим числом углов, например, с четырьмя.
2) В этом случае сумма четырех острых углов будет меньше, чем 90°•4 или 180°•2. Сумма же остальных n – 4 углов будет меньше, чем 180°•(n – 4). Тогда сумма всех углов n -угольника меньше, чем 180°•2 + 180°•(n – 4) = 180°•(n – 2), а это невозможно для выпуклого n -угольника (сумма его углов равна 180°•(n – 2)).
3) Полученное противоречие кроется в исходном предположении.
4) Наше предположение относительно существования четырех (а как показывает анализ рассуждений и большего количества) острых углов неверно. Следовательно, максимальное количество острых углов выпуклого n -угольника – три.

Доказательство выдвинутой гипотезы завершает решение задачи.

4. Метод доказательства «от противного» – 2

Характеристика метода. Имеем для доказательства утверждения вида

A Þ B (*)

(A – условие, B – заключение). Идея доказательства опирается на равносильность теоремы (*) и теоремы противоположной для обратной к данной, т. е. теоремы

B Þ Ā (**)

Суть доказательства данным методом состоит в следующем:

1) Составляем теорему вида (**).
2) Доказываем составленную теорему.
3) Основываясь на описанной выше равносильности делаем вывод, что теорема (утверждение) (*) верна.

Задача. Какое наибольшее число острых углов может быть в выпуклом многоугольнике?

Решение. Легко пока

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать