Линейное программирование постановка задач и графическое решение

КУРСОВОЙ ПРОЕКТ ПО ДИСЦИПЛИНЕ

«ЭКОНОМИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ»

Тема. Линейное программирование: постановка задач и графическое решение.

Научный руководитель:

Чернов

Александр Степанович

Исполнитель:

Кудрявцева

Елена Александровна

Г. Мурманск

1998 год

ПЛАН.

Введение.

1. Общая задача линейного программирования.

1.1. Формулировка задачи.

1.2. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования.

2. Графический метод решения задачи линейного программирования.

2.1. Область применения.

2.2. Примеры задач, решаемых графическим методом.

2.3. Обобщение графического метода решения задач линейного программирования.

Литература.

Введение.

Линейное программирование - это наука о методах исследования и отыскания наибольших и наименьших значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения. Таким образом, задачи линейного программирования относятся к задачам на условный экстремум функции. Казалось бы, что для исследования линейной функции многих переменных на условный экстремум достаточно применить хорошо разработанные методы математического анализа, однако невозможность их использования можно довольно просто проиллюстрировать.

Действительно, путь необходимо исследовать на экстремум линейную функцию Z= С₁ х₁ +С₂ х₂ +... +С_N x_N

при линейных ограничениях

a₁₁ x₁ + a₂₂ x₂ + ...+ a_1N Х_N = b₁

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + ...+ a_2N Х_N = b₂

. . . . . . . . . . . . . . .

a_М1 x₁ + a_М2 x₂ + ...+ a_МN Х_N = b_М

Так как Z - линейная функция, то = С_j (j = 1, 2, ..., n), то все коэффициенты линейной функции не могут быть равны нулю, следовательно, внутри области, образованной системой ограничений, экстремальные точки не существуют. Они могут быть на границе области, но исследовать точки границы невозможно, поскольку частные производные являются константами.

Для решения задач линейного программирования потребовалось создание специальных методов. Особенно широкое распространение линейное программирование получило в экономике, так как исследование зависимостей между величинами, встречающимися во многих экономических задачах, приводит к линейной функции с линейными ограничениями, наложенными на неизвестные.

1. Общая задача линейного программирования

1.1. Формулировка задачи.

Даны линейная функция

(1.1) Z= С₁ х₁ +С₂ х₂ +... +С_N x_N

и система линейных ограничений

a₁₁ x₁ + a₂₂ x₂ + ...+ a_1N Х_N = b₁

a₂₁ x₁ + a₂₂ x₂ + ...+ a_2N Х_N = b₂

. . . . . . . . . . . . . . .

(1.2) a_i1 x₁ + a_i2 x₂ + ...+ a_iN Х_N = b_i

. . . . . . . . . . . . . . .

a_M1 x₁ + a_M2 x₂ + ...+ a_MN Х_N = b_M

(1.3) x_j 0 (j = 1, 2, ... ,n)

где а_ij , Ь_j и С_j - заданные постоянные величины.

Найти такие неотрицательные значениях₁ ,х₂ , ..., х_n , которые удовлетворяют системе ограничений (1.2) и доставляют линейной функции (1.1)минимальное значение.

Общая задача имеет несколько форм записи.

Векторная форма записи. Минимизировать линейную функцию Z = СХ при ограничениях

(1.4)А₁ х₁ + А₂ x₂ + ... + А_N x_N = А_о , X 0

где С = (с₁ , с₂ , ..., с_N ); Х = (х₁ , х₂ , ..., х_N ); СХ - скалярное произведение; векторы

A₁ = , A₂ = ,..., A_N = , A₀ =

состоят соответственно из коэффициентов при неизвестных и свободных членах.

Матричная форма записи . Минимизировать линейную функцию, Z = СХ при ограничениях АХ = А₀ , Х 0, где С = (с₁ , с₂ , ..., с_N ) - матрица-cтрока; А = (а_ij ) - матрица системы;

Х = - матрица-столбец, А₀ = матрица-столбец

Запись с помощью знаков суммирования. Минимизировать линейную функцию Z = С_j х_j при ограничениях

0пределение 1. Планом или допустимым решением задачи линейного программирования называется Х = (х₁ , х₂ , ..., х_N ), удовлетворяющий условиям (1.2) и (1.3).

0пределен

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать