Числовой ряд

1.числовой ряд.Сходимость ряда.св-ва сходящихся рядов

Числовой ряд — бесконечная последовательность чисел соединенная знаком +. Ряды задаются 1.перечислением первых несколькихъ членов 1+1/2+1/3+1/4+….

2. формулой общего члена.

Если частичных сумм при n->∞ существует и равен конечному чисоу то соответствует ряд называется сходящийся и его сумма равна Si в противном случае ряд расходящийся

Если основание >1 ряд сходится

Если основание < 1 ряд сходится

Если основание=1 ряд расходится

Если основание равно =-1 то предел не существует и ряд расходится

Св-ва сходящихся рядов

1.Если ряд а1+а2+а3+…an сходится то и ряд сходится

2. Пусть ряд и и их сумма =S1. S2 тогда ряд также сходится

3. если ряд сходится аn тогда и сходится и ряд полученный из данного путем отбрас конечного числа члена

4. для того чтобы ряд сходился необходимо и достаточно чтобы при n->∞ остаток ряда стремится к 0

3.Знакочередующие ряды. Признак Лейбница. абсолютная и условная сходимость

Знакопеременные ряды назыв если его члены произвол знака

Условие необходимости: если ряд составленный из абсолютных величин членов данного ряда сходится и данный ряд тоже.

Ряд назвается абсолютно сходящ если сходится как сам ряд так и ряд сставленный из абсолют величины его члена

Ряд называется условно сходящ если сам ряд составл из абсолютных величин.(расход)

Теорема пр-ка Лейбница: если член знакочередующ ряда убывает по абсолют величине и предел абсолют величины его общего члена =0 то ряд сходится а его сумма не превосходит его первого члена

4.Степенные ряды. Область сходимости

Функциональный ряд называют степенным если он имеет вид

Функциональные ряды если его члены явл функ

U1(x)+u2(x)+….+un(x)

Все знач X при которых функц ряда сходится является областью сходимости функц ряда

S(x) на области сход сумма ряда явл функ среди функ назыв степенные ряды

Алгоритм нах обл сход

1. Найдем радиус сход по одной из формул

2. Строим интерв сход (-R;R)

3. Ислед поведен ряда на границах интервала

4. Запис область

5. Ряд маклорена

Для того чтобы ряд маклорена сходлился в функции f(x) необходимо и достаточно чтобы n->∞ и остаток ряда стремился к 0.

Если f(x) разложима ряд маклрена то это разложение единственно

6. Периодические поцессы. Тригонометрический ряд Фурье

Периодические функции f(x)с периодом T если x+t€ области определения и F(x+t)=f(x)

Простейшим гармоническим процессом является простое гармон колебание которое описыв функц y=A(sin(wt-γ0)

А-амплитуда, w-чистота колеб, t- время, γ- номинальная фаза

Тригонометрич рядом наз функционал ряд вида

7.Разложение ряда фурье функций 2^п

теорема Дирихле.

1. F(x) кусочно непрерывный т.е непрерывна илиимеет конечное число точек первого рода

2. f(x) кусочно-монотонно т.е на всем отрезке или на том отрезке можно разюбить на конечное число отрезков. Тогда соответств функции F(x) ряд фурье сход на этом отрезке

Разложение в ряд Фурье основывается на предположении, что все имеющие практическое значение функции в интервале -π ≤x≤ π можно выразить в виде сходящихся тригонометрических рядов

8. Разложение ряда фурье четных и нечетных функций.

Пусть функция y = f (x ) задана на сегменте [п,-п]и удовлетворяет условиям Дирихле.

Пусть функция f(x)–чётная и удовлетворяет теореме Дирихле. Тогда функции f(x)*cosnx–нечётные, а f(x)*sinnx – при любых n =1,2,... Поэтому

,

Пусть функция f(x)нечётная и удовлетворяет теореме Дирихле. Тогда функции f(x)*cosnx– нечётные, а f(x)*sinnx– четные при любых n =1,2,... Поэтому a0=0, an=0

9.Применение рядов в приближенных вычислениях

(1) и требуется хотя бы приближенно, вычислить значение f(x) для каких – либо значений x, то естественно пользоваться приближенными формулами f(x)≈Sn(x) (2) где Sn(x)-частичная сумма ряда. При вычислении по формулам (2) может быть достигнута любая точность в силу равенства (1), но возможно, что потребуется брать Sn(x) с очень большим номером n. Не всегда легко оц