Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

Знакочередующиеся и знакопеременные ряды

Содержание

1. Признак Даламбера

2. Признак Коши

3. Интегральный признак сходимости ряда

4. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница

5. Знакопеременные ряды. Абсолютно и условно сходящиеся ряды

Список использованных источников

1. Признак Даламбера

Теорема 1 (признак Даламбера). Пусть дан ряд , где все > 0.Если существует предел

,

то при 0<1 ряд сходится, а при > 1 ряд сходится.

◄Пусть существует предел

,

где 0<1. Возьмем q такое, что < q <1. Тогда для любого числа ε > 0, например, для

,найдется номер N такой, что для всех n ≥ N будет выполняться неравенство

< q - ,

В частности, будем иметь

< q - ,

или

< q,

Откуда < q для всех n ≥ N. Из этого неравенства, придавая n последовательно значения N, N+1,N+2, получим

< q,

< q < q,

< q < q,

………………………….

Члены ряда

+++…

Не превосходят соответствующих членов ряда

q +q +q+… ,

который сходятся как ряд, составленный из членов геометрической прогрессии со знаменателем q ,0 < q < 1. По признаку сравнения ряд

+++…

сходится, а значит, сходится и исходный ряд .

В случае > 1, начиная с некоторого номера N, будет выполняться неравенство

> 1, или > > 0.

Следовательно, 0, и ряд расходится, так как не выполнен необходимый признак сходимости. ►

Замечание. Если

1,

Или не существует, то признак Даламбера ответа о сходимости или расходимости ряда не дает.

Примеры. Исследовать на сходимость следующие ряды:

1. .

◄ Для данного ряда имеем

, .

Тогда

.

По признаку Даламбера ряд сходится. ►

2. .

◄ Имеем

, = ;

.

Данный ряд расходится. ►

2. Признак Коши

Теорема 2 (признак Коши). Пусть дан ряд

, . (1)

Если существует конечный предел

,

то 1) при ряд сходится;2) при ряд расходится.

◄ 1) Пусть . Возьмем число q такое, что . Так как существует предел

,

где , то, начиная с некоторого номера N , будет выполняться неравенство .

В самом деле, из определенного равенства вытекает, что для любого ε ,в том числе и для

ε = , найдется такой номер N , начиная с которого будет выполняться неравенство

,

откуда или что тоже,

.

Отсюда получаем

для .

Таким образом, все члены ряда, начиная с , меньше соответствующих членов сходящегося ряда . По признаку сравнения ряд

сходится, а значит сходится и ряд(1).

2)Пусть . Тогда, начиная с некоторого номера N для всех n > N , будет выполняться неравенство , или

.

Следовательно,

И ряд (1) расходится. ►

Замечание. Если , то ряд (1) может как сходиться, так и расходиться.

Примеры. Исследовать на сходимость следующие ряды:

1. .

◄ Имеем

, ;

.

Ряд сходится. ►

2.

◄ Здесь

, ;

Ряд сходится. ►

3. Интегральный признак сходимости ряда

Теорема 3 (интегральный признак сходимости). Пусть функция f(x) определена, непрерывна, положительна и не возрастает на луче . Тогда:

1) числовой ряд сходится, если сходится несобственный интеграл

; (1)

2) ряд расходится, если расходится несобственный интеграл (1)

◄ Возьмем на графике функции f(x) точки с абсциссами

x1=1, x2=2, x3=3, … , xn = n

и построим две ступенчатые фигуры, состоящие из выступающих и входящих прямоугольников так, как показано рис. 1. Площадь Q криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = 1, x = n, y=0 и кривой y = f(x) равна

.

Возьмем n-ю частичную сумму ряда :

S n = f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n) ,

Тогда площадь Q+ выступающей фигуры будет равна

Q+= f(1) + f(2) + f(3) + … + f(n-1) = S n-1

А площадь Q- входящей фигуры равна

Q- = + f(2) + f(3) + … + f(n) = S n - f(1).

Из построения и свойств функции f(x) следует, что

Q- < Q < Q+ , т.е.

S n - f(1) < < S n-1.

Так как S n-1 < S n (в силу условия ), то

S n - f(1) < < S n, n =1,2, … . (2)

1) Пусть интеграл (1) сходится. Тогда существует предел

,

так как

(в силу условия f(x) > 0 для , то из неравенства (2) следует, что

S n < f(1) + ≤ f(1) + A = M = const,

т.е. 0 < S n < M для n = 1, 2, … .Тем самым, последовательность {S n} ограничена, и при возрастании n сумма S n возрастает, так как f(n ) > 0 для n = 1, 2, … . Поэтому она имеет предел

,

Что означает сходимость ряда .

2) Пусть интеграл (1) расходится. Так как по условию

f(x) > 0 для , то

= .

Из неравенства

S n ≥ , n = 1, 2, … ,

Следует, что

,

т.е. ряд расходится. ► <

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать