Элементарное доказательство великой теоремы Ферма

Нижегородский государственный технический университет им. Р.Е. Алексеева

ЭЛЕМЕНТАРНОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ВЕЛИКОЙ ТЕОРЕМЫ ФЕРМА

(Приведенный ниже вариант доказательства Великой теоремы Ферма получен в октябре 2010 года)

С.А. ЛАБУТИН (д.т.н.)

1. Введение [1]. Великая (большая или последняя) теорема Ферма утверждает, что не существует отличных от нуля целых чисел x , y , z , для которых имеет место равенство

xⁿ + yⁿ = zⁿ , (1)

где n > 2. Общеизвестно, что при n = 2 такие числа существуют (например, 3, 4 и 5).

В бумагах Ферма (который жил в 1601-1665 гг.) было найдено доказательство этой теоремы при n = 4 (это единственное полное доказательство теоретико-числового результата, сохранившееся от Ферма). Относительно же общего случая любого n > 2 Ферма лишь написал (на полях "Арифметики" Диофанта), что он нашел "поистине замечательное доказательство" этого факта, но "поля слишком малы, чтобы его уместить".

Несмотря на усилия многих математиков (в "Истории теории чисел" Диксона прореферировано более трехсот (!) работ на эту тему), это доказательство найдено не было, что даже вызвало сомнение в том, что в доказательстве Ферма не содержалось какой-либо ошибки. Тем более, что кроме показателя n = 4, нет ни одного показателя, для которого теорему Ферма удалось бы доказать элементарными средствами.

Известно [1], что для доказательства теоремы Ферма достаточно рассмотреть только случаи показателей n = 4 (для этого случая доказательство теоремы получено Пьером Ферма) и n = q ≥ 3, где q - простое число, делящееся без остатка только на единицу и на само себя, и примитивных решений x , y , z . Решение называется примитивным, если состоит из попарно взаимно простых чисел, т.е. каждая из пар чисел (x , y), (y , z ) и (x , z ) не имеет общих множителей кроме единицы.

Только создание в середине 19 века нового достаточно сложного раздела математики "теории алгебраических чисел" (первооткрывателем этого направления математики является немецкий математик Куммер) позволило доказать теорему Ферма для простых показателей q < 253747889 [1] в случае, когда ни одно из взаимно попарно простых чисел x , y , z не делится на q (опираясь на результаты, полученные рядом ученых к 1941 г., и на возможности ЭВМ для проверки сформулированных ими условий), и для q < 100000 для произвольных взаимно попарно простых решений x , y , z ( опираясь на результаты Вандивера, полученные в 1929 г., и на возможности ЭВМ, для проверки сформулированных им условий). Но теория алгебраических чисел так и не позволила доказать теорему Ферма для всех простых чисел q > 2.

В докладе рассматривается доказательство теоремы Ферма для всех n = q ³ 3, где q является нечетным (не обязательно простым!) числом, на основе тех методов, которыми мог пользоваться Ферма в 17 веке. Хотя это доказательство и не открывает каких-либо новых путей в математике, но все-таки позволяет ликвидировать неприятную ситуацию, возникшую после появления теоремы Ферма, когда в течение 340 лет (!) математики всего человечества не смогли доказать эту теорему элементарными методами (и вообще не смогли пока доказать эту теорему!), и даже заявляли, что в доказательстве Ферма, вероятно, содержалась какая-то ошибка, не замеченная Ферма (хотя известно, что во всех случаях, когда Ферма писал, что получил доказательство какого-либо математического утверждения, то все эти доказательства в дальнейшем были найдены другими учеными кроме доказательства … Великой теоремы Ферма!).

Пьер Ферма в свободное от основной работы время (он работал в отделе прошений кассационной палаты суда французского города Тулуза) без каких-либо особых усилий (вполне возможно, что в течение всего одного вечера) доказывает рассматриваемую теорему, затем восхищается, вероятно, тем, что доказательство получено сразу для всех n > 2, но вовсе не считает необходимым сохранить это доказательство для других ученых или сообщить его в письмах к этим ученым (другими словами, вовсе не считает это доказательство каким-то особым достижением).

2. Какие известные результаты использованы в рассматриваемом доказательстве? Заметим, что в "Арифметике" Диофанта рассматриваются, в частности, целочисленные решение уравнения Пифагора

x ² + y ² = z ² . (2)

Общие формулы для целочисленных решений этого уравнения были известны еще древним индусам и используются Ферма при доказательстве теоремы (1) для случая n = 4.

Запишем эти формулы для решения уравнения Пифагора в виде взаимно простых чисел x , y , z .

Леммы 1. Для любых взаимно простых положительных чисел m и n < m разной четности формулы

x = 2mn , y = m ² - n ² , z = m ² + n ² (3)

доставляют состоящее из положительных целых чисел примитивно

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать