Теория вероятностей и математическая статистика

Задача 1.

Генерация случайных чисел с заданным законом распределения с помощью случайных чисел, равномерно распределенных на интервале (0,1):

1. используя центральную предельную теорему, с помощью сумм 6 независимых равномерно распределенных на интервале (0,1) случайных чисел получить 25 случайных числа со стандартным нормальным законом распределения; найти выборочное среднее и выборочную дисперсию;

2. получить 11 случайных чисел с законом распределения Стьюдента с 10 степенями свободы; найти выборочное среднее и выборочную дисперсию.

Решение:

С помощью сумм 6 независимых равномерно распределенных на интервале (0,1) случайных чисел получим 24 случайных числа со стандартным нормальным законом распределения по формуле

, где z_i - равномерно распределенные на интервале (0,1) случайные числа.

Получены следующие числа:

Найдем выборочное среднее по формуле

Найдем выборочную дисперсию по формуле

Получим 11 случайных чисел с законом распределения Стьюдента с 10 степенями свободы:

С
лучайные числа, распределенные по закону «хи квадрат» с 10 степенями свободы:

, где x_i – нормальные независимые случайные величины.

Случайные числа, распределенные по закону Стьюдента с 10 степенями свободы:

,
где x – нормальная случайная величина, а ² – независимая от x величина, которая распределена по закону «хи квадрат» с 10 степенями свободы.

Получены следующие числа:

Найдем выборочное среднее по формуле

Найдем выборочную дисперсию по формуле

Задача 2.

Проверка статистической гипотезы:

1. получить 100 случайных чисел {x₁,…,x₁₀₀}, распределенных по показательному закону с параметром  = 1/6, найти такое наименьшее целое число N, что N  x_k для всех k = 1,…,100;

2. разделить отрезок [0, N] на 10 равных отрезков; получить группированную выборку {n₁,…,n₁₀}, где n_i – число чисел, попавших в i-ый интервал; построить гистограмму относительных частот; по группированной выборке найти оценку _В параметра ;

3. проверить с помощью критерия «хи квадрат» гипотезу о соответствии группированной выборки показательному распределению с параметром _В при уровне значимости 0.05.

Решение:

Получим 100 случайных чисел {x₁,…,x₁₀₀}, распределенных по показательному закону с параметром  = 1/6: