Развитие аналитической геометрии

МОГИЛЕВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМ. А. А. КУЛЕШОВА

Реферат

Развитие аналитической геометрии

Выполнила

студентка

физико-математического

факультета

V курса, группы “Г”

Гуленкова Оксана

Могилев 2002.
Алгебраические методы в геометрии

Применение алгебры в геометрии имело к началу XVII в. долгую исто­рию. Еще древние вавилоняне решали многие задачи на прямоугольные треугольники, выражая искомые отрезки, как корни численных квадрат­ных уравнений; аналогичные приемы употреблялись впоследствии неодно­кратно. В классической! Греции важным средством геометрического исследования, в частности конических сечений, служила геометриче­ская алгебра, в которой место вычислений занимали построения от­резков.

Бурные успехи символической и числовой алгебры в XVI в. явились основой гораздо более обширных приложений алгебраического метода в геометрии, приведших к созданию новой аналитической геометрии. Пер­воначально работы в этом направлении не выходили за пределы тради­ционных постановок и решений вопросов, иногда довольно сложных. Большое число таких задач было рассмотрено Виетом, за которым по­следовали и другие, например Марин Геталдич (Гетальди, 1566—1627), уроженец югославского города Дубровник (Рагуза), в то время бывшего самостоятельной республикой. Ученик Хр. Клавия и хороший знаток греческих авторов, Гетальди испытал особенно сильное влияние Виета, с которым познакомился в бытность в Париже. В «Собрании различных задач» (Variorumproblematumcollectio, Veneliae, 1607) и посмертно из­данном труде «О математическом анализе и синтезе» (Deresolutioneetcompositionemathematica, Romae, 1630) Гетальди средствами алгебры Ви­ета решает разнообразные задачи на деление отрезков, построение тре­угольников и так называемые вставки (ср. т. I, стр. 84); по большей части его задачи выражаются уравнениями первой или второй степени относи­тельно искомого неизвестного отрезка. В некоторых случаях применяется чисто геометрическое решение. Упомянем античную задачу о вставке между продолжением стороны квадрата и ближайшей перпендикулярной стороной отрезка данной длины, продолжение которого проходит через вершину квадрата, не лежащую на названных сторонах. Гетальди отнес задачу к тем, которые не относятся к алгебре (subalgebramnoncadunt), и решил ее геометрически. Данная задача привлекла внимание и других ученых. Жирар (1629) выразил ее уравнением четвертой степени и по­казал, как связан выбор знаков перед радикалами, входящими в его кор­ни, с положением частей искомого отрезка. Декарт (1637) рассмотрел ее с целью привести пример уравнения четвертой степени, распадающегося на два квадратных (коэффициенты которых, между прочим, квадратично ир­рациональны относительно исходных коэффициентов). Попутно Декарт указал, как от более или менее удачного выбора неизвестной зависит срав­нительная простота уравнения. Эти соображения Декарта подробнее раз­виты во «Всеобщей арифметике» Ньютона. Оригинальное решение при­надлежит еще Гюйгенсу.

Алгебраическим решением геометрических задач занимались, как видно, очень многие. К уже названным можно добавить, например, имя английского алгебраиста Вильяма Отреда (1574—1660), на книге кото­рого, озаглавленной, подобно одному из сочинений ал-Каши, «Ключ ма­тематики» (Clavismathematicae, Londini, 1631)[1] , отразилось несомненное влияние «Собрания различных задач» Гетальди.

Аналитическая геометрия

Описанная алгебраическая трактовка вопросов геометрии подготовля­ла почву для создания аналитической геометрии, предметом которой яв­ляется уже нс только нахождение отдельных отрезков, выражаемых кор­нями уравнений с одним неизвестным, но изучение свойств различных геометрических образов, прежде всего алгебраических линий и поверхно­стей, выражаемых уравнениями с двумя или более неизвестными или ко­ординатами.

Координаты появились еще в древности, притом в различных формах, между собой непосредственно не связанных. С одной стороны, это были географические координаты, именовавшиеся долготой и широтой, причем положение пунктов земной по­верхности, изображенной в виде прямоугольника, характеризовалось парой чисел. Сходными были астрономические координаты, служившие для определения положения светил на небесной сфере. Другой вид коор­динат представляли собой отрезки, зависимости между которыми, так называемые симптомы (см. т. I, 130), выражали определяющие свой­ства этих кривых. В этом случае речь шла не о числовых координатах любых точек с отсчетом от фиксированного меридиана и параллели, а об отрезках диаметров и хорд, связанных с точками рассматриваемой фи­гуры.

Своеобразной разновидностью координат были отрезки широт и долгот в теории изменения форм Орема. Здесь не было ни числовых коор­динат любых точек, ни «симптомов», выраженных средствами геометри­ческой алгебры; словесно сформулированная зависимость между широтой и долготой формы изображалась плоской линией.

Координатные отрезки древнегреческой геометрии стали известны в Европе частью по арабским сочинениям, но главным образом по трудам Архимеда и особенно Аполлония. Параллельные хорды или полухорды, сопряженные некоторому диаметру, Аполлоний называл, если перевести с греческого, «по порядку проведенными линиями», а отрезки этого диа­метра от его конца до хорды — «отсеченными на диаметре по порядку про­веденными (линиями