Случайные процессы

СЛУЧАЙНЫЕ ПРОЦЕССЫ

Оглавление

Случайная функция, случайный процесс, случайное поле. 2

Функция распределения вероятностей случайного процесса. 3

Плотность распределения вероятностей случайного процесса. 4

Моментные функции случайного процесса. 5

Условные распределения вероятностей. 6

Примеры математических моделей случайных процессов. 7

Стационарные процессы.. 8

Литература. 10

Случайная функция, случайный процесс, случайное поле

69.1. Случайной функцией называется случайная величина , зависимая от параметра . Случайные величины могут быть вещественными, либо комплексными, либо векторными; аргумент может быть вещественным или векторным. Самый простой пример случайной функции получаем для вещественного параметра и вещественной случайной величины . При этом называется случайной функцией одной переменной или случайным процессом. Отметим, что аргумент случайного процесса не обязательно имеет размерность времени.

Более сложные примеры случайных функций встречаются в задачах физики, океанологии, метеорологии и других областях приложения теории вероятностей. Так, температура воздуха в точке пространства и в момент времени часто рассматривается как случайная величина. Таким образом, температура воздуха является случайной функцией, зависимой от трех декартовых координат времени . Случайную функцию, зависимую от нескольких переменных принято называть случайным полем.

69.2. Случайный процесс как функция аргумента имеет свою область определения , которая может быть отрезком на вещественной оси, положительной полуосью, всей вещественной осью и т. д. Рассмотрим случайный процесс при фиксированном , тогда - случайная величина, которая называется сечением случайного процесса в точке .

Пусть выполняется опытов, в каждом из которых измеряется значение , , случайной величины . Тогда результаты измерений – это чисел

. (69.1)

В отличие от случайной величины измерение случайного процесса выполняется в течение некоторого интервала -интервала наблюдения. Последний либо содержится в области определения , либо совпадает с ней. Пусть детерминированная функция , , - результат измерения случайного процесса в первом опыте, функция , , - результат измерения случайного процесса во втором опыте, и т.д. Тогда результаты всех опытов, аналогично (69.1), представляются совокупностью детерминированных функций времени:

(69.2)

Каждая функция , , называется реализацией (траекторией, выборочной функцией, выборкой) случайного процесса . Совокупность (69.2) называется ансамблем реализаций случайного процесса . Ансамбль реализаций содержит информацию о статистических свойствах случайного процесса аналогично как и совокупность измерений (69.1) содержит информацию о статистических свойствах случайной величины .

69.3. В зависимости от того, дискретны или непрерывны время и реализации , различают четыре типа случайных процессов.

1). Случайный процесс общего типа: время - непрерывно и реализации - непрерывны.

2). Дискретный случайный процесс: время - непрерывно и - дискретны.

3). Случайная последовательность: - дискретно и - непрерывны. В литературе случайные процессы этого типа принято называть временными рядами.

4). Дискретная случайная последовательность: - дискретно и - дискретны.

Функция распределения вероятностей случайного процесса

70.1. При фиксированном распределение вероятностей сечения случайного процесса (как распределение вероятностей случайной величины) задается функцией распределения вероятностей

. (70.1)

Соотношение (70.1) можно рассматривать при любом . Функция , как функция двух переменных и , называется одномерной функцией распределения вероятностей случайного процесса . Аргументы и принято называть соответственно фазовой и временной переменными. Однако, не дает исчерпывающую вероятностную характеристику случайного процесса , поскольку она не учитывает зависимости случайных величин при разных (т.е. зависимости разных сечений случайного процесса). Более полно вероятностные свойства случайного процесса описывает -мерная функция распределения - функция распределения случайного вектора :

. (70.2)

Однако, практическое применение находят лишь функции распределения первого и второго порядков . Функции более высоких порядков используются только в теории.

70.2. Основные свойства -мерной функции распределения вероятностей случайного процесса аналогичны свойствам функции распределения вероятностей -мерного вектора.

1) Функция - неубывающая по каждому аргументу , .

2) Функция - непрерывна справа по каждому аргументу , .

3) Функция распределения симметрична относительно перестановок двух любых пар и :

.

4) Для любого целого ,

.

5) Для любого целого ,

.

6) .

Плотность распределения вероятностей случайного процесса

Если имеет производную

, (71.1)

тогда эта производная называется -мерной плотностью распределения вероятностей случайного проце

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать