Основні властивості простору Соболєва

Реферат

Основні властивості простору Соболєва

Зміст

1. Простір Соболєва

1.1 Загальне визначення

1.2 Простір

1.3 Інше визначення узагальненої похідної

1.4 Найпростіша теорема вкладення

1.5 Простір Соболєва й

2. Застосування просторів Соболєва в математичній фізиці

2.1 Доказ існування й одиничності узагальненого рішення рівняння Лапласа

Висновок

Список літератури

1. Простір Соболєва

1.1 Загальне визначення

Нехай у задана замкнута обмежена область Розглянемо лінійний простір речовинних функцій раз безупинно диференцюємих на Диференцюємость на замкнутій області можна розуміти в різних змістах. Ми будемо припускати, що у функції раз безупинно диференцюємі, причому кожна частинна похідна функції має межу при прагненні до будь-якої граничної крапки області так що в результаті її продовження на вона стає безперервної в Границя області передбачається досить гладкої. Крім того, звичайно ми будемо вважати область одно зв'язковий і задовольняючому такому додатковому обмеженням, які можуть знадобитися в тих або інших міркуваннях.

Скористаємося для стислості наступними позначеннями. Набір індексів називається мультиіндексом. Число називається довжиною мультиіндекса. Для позначення часток похідних приймемо

Уведемо в розглянутому вище лінійному просторі норму

(1.1)

Отриманий нормований простір позначається Його поповнення в нормі (1.1) позначається й називається простором Соболєва.

У прикладних задачах досить часто зустрічається випадок Загальноприйнятий наступне позначення: Простір Соболєва є гильбертовим простором – поповненням простору в нормі, породженої скалярним добутком

Нижче ми докладніше зупинимося на окремих випадках і тобто розглянемо простору Соболєва на речовинній осі й у тривимірному просторі.

1.2 Простір

Розглянемо на відрізку простір який складається із усіляких функцій безупинно диференцюємих на зі скалярним добутком

(1.2)

і відповідному цьому скалярному добутку нормою

(1.3)

є поповненням у цій нормі. Елементами відповідно до теореми про поповнення, є класи, що складаються з послідовностей фундаментальних в у середньому, точніше, таких, що

при

Дві такі послідовності й належать одному класу, якщо є нескінченно малою по нормі тобто, якщо

при

З умови фундаментальності в середньому в треба, що окремо при

Аналогічно, з умови еквівалентності й по нормі треба, що при

Відповідно до визначення простору існують функції й такі, що при а в середньому.

Ми приходимо до наступного найважливішого визначення. Нехай Тоді у визначені елемент із представником і елемент із представником називається узагальненій похідній (у змісті Соболєва) від При цьому пишуть:

З визначення узагальненій похідній видно, що вона визначається не локально, в окремих крапках, а глобально – відразу на всім відрізку Нехай так що Перейдемо до межі при в рівностях

(1.4)

(1.5)

і, відповідно до теореми про поповнення й визначення інтеграла Лебега, прийдемо до формул (1.2) і (1.3), де тепер похідні розуміються в узагальненому змісті, а інтеграл – у змісті Лебега. Для конкретних обчислень, зрозуміло, можна й потрібно користуватися формулами (1.4) і (1.5), взявши досить велике тобто замість ідеальних елементів скористатися їхніми гладкими наближеннями

1.3 Інше визначення узагальненої похідної

Нехай – множина всіх безупинно диференцюємих на відрізку фінітних функцій Якщо тепер безупинно дференцюєма на відрізку те для довільної функції справедливо наступна інтегральна тотожність:

(1.6)

перевіряється інтегруванням вроздріб. Цією тотожністю повністю визначається.

Допустимо, що, крім того, для будь-яких і деякої безперервної на відрізку функції

(1.7)

Віднімаючи ці тотожності, одержимо, що для будь-яких

Звідси, внаслідок щільності в на відрізку Виявляється, інтегральна тотожність (1.7) можна прийняти за визначення узагальненої похідної. Насамперед, справедлива наступна лема.

Лема 1. Якщо то для будь-яких справедливо тотожність (1.6).

Доказ. Нехай тоді для всіх маємо (1.6):

Внаслідок властивості безперервності скалярного добутку в останній рівності можна перейти до межі при В результаті ми одержимо тотожність (1.6) для будь-якої функції Лема доведена.

Лема 2. Нехай дані такі, що для всіх справедливо тотожність (1.7). Тоді (узагальнена похідна).

Доказ. Нехай а Тоді

при

для будь-якого

Нехай – клас, представником якого є

Тоді

для будь-яких Звідси Лема доведена.

1.4 Найпростіша теорема вкладення

Теорема 1. вкладено в

Доказ. Нехай безупинно дференцюєма на відрізку Відповідно до теореми про середній, внаслідок безперервності найдеться крапка така, що Тому на відрізку справедливо наступна тотожність:

За допомогою нерівності Коші-Буняковського маємо

де

Отже, для будь-який безупинно дференцюємої на відрізку функції справедлива нерівність

(1.8)

Нехай тепер послідовність – фундаментальна по нормі Тоді

при Отже, фундаментал

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать