Евклидова и неевклидова геометрия

Содержание:

Постулаты Евклида

Попытки доказательства V постулата Евклида

Кант об априорных понятиях

Появление неевклидовой геометрии

Янош Бояи.

Геометрия Лобачевского

Непротиворечивость геометрии Лобачевского

Развитие евклидовой геометрии

Список литературы:

Постулаты Евклида

Евклид – автор первого дошедшего до нас строгого логического построения геометрии. В нем изложение настолько безупречно для своего времени, что в течение двух тысяч лет с момента появления его труда “Начал” оно было единственным руководством для изучающих геометрию.

“Начала” состоят из 13 книг, посвященных геометрии и арифметике в геометрическом изложении.

Каждая книга “Начал” начинается определением понятий, которые встречаются впервые. Так, например, первой книге предпосланы 23 определения. В частности,

Определение 1. Точка есть то, что не имеет частей.

Определение 2. Линия есть длины без ширины

Определение 3. Границы линии суть точки.

Вслед за определениями Евклид приводит постулаты и аксиомы, то есть утверждения, принимаемые без доказательства.

Постулаты

I. Требуется, чтобы от каждой точки ко всякой другой точке можно было провести прямую линию.

II . И чтобы каждую прямую можно было неопределенно продолжить.

III. И чтобы из любого центра можно было описать окружность любым радиусом.

IV. И чтобы все прямые углы были равны.

V. И чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых.

Аксиомы

I. Равные порознь третьему равны между собой.

II. И если к ним прибавим равные, то получим равные.

III. И если от равных отнимем равные, то получим равные.

IV. И если к неравным прибавим равные, то получим неравные.

V. И если удвоим равные, то получим равные.

VI. И половины равных равны между собой.

VII. И совмещающиеся равны.

VIII. И целое больше части.

IX. И две прямые не могут заключать пространства.

Иногда IV и V постулаты относят к числу аксиом. Поэтому пятый постулат иногда называют XI аксиомой. По какому принципу одни утверждения относятся к постулатам, а другие к аксиомам, неизвестно.

Никто не сомневался в истинности постулатов Евклида, что касается и V постулата. Между тем уже с древности именно постулат о параллельных привлек к себе особое внимание ряда геометров, считавших неестественным помещение его среди постулатов. Вероятно, это было связано с относительно меньшей очевидностью и наглядностью V постулата: в неявном виде он предполагает достижимость любых, как угодно далеких частей плоскости, выражая свойство, которое обнаруживается только при бесконечном продолжении прямых.

Попытки доказательства V постулата Евклида

Возможно, что уже сам Евклид пытался доказать постулат о параллельных. В пользу этого говорит то обстоятельство, что первые 28 предложений “Начал” не опираются на V постулат. Евклид как бы старался отодвинуть применение этого постулата до тех пор, пока использование его не станет настоятельно необходимым.

Одни математики старались доказать постулат о параллельных, применяя только другие постулаты и те теоремы, которые можно вывести из последних, не используя сам V постулат. Все такие попытки оказались неудачными. Их общий недостаток в том, что в доказательстве неявно применялось какое-нибудь предположение, равносильное доказываемому постулату.

Другие предлагали по-новому определить параллельные прямые или же заменить V постулат каким-либо, по их мнению, более очевидным предложением. Так, например, в XI веке Омар Хайям ввел вместо V постулата “принцип”, согласно которому две лежащие в одной плоскости сходящиеся прямые пересекаются и не могут расходиться в направлении схождения. С помощью этого принципа Хайям доказывает, что в четырехугольнике ABCD, в котором углы при основании А и В – прямые и стороны АС, ВD равны, углы С и D так же прямые, а из этого предложения о существовании прямоугольника выводится V постулат. Рассуждения Хайяма получили оригинальное развитие в XIII веке у Насирэдинна ат-Туси, работы которого в свою очередь стимулировали исследования Д. Валлиса. В 1663 году Валлис доказал постулат о параллельных, исходя из явного допущения, что для каждой фигуры существует подобная ей фигура произвольной величины. Это допущение он считал вытекающим из существа пространственных отношений.

С логической точки зрения результаты Хайяма или Валлиса лишь выявляли равносильность V постулата и некоторых других предложений геометрии. Так, Хайям, по существу, установил эквивалентность постулата и предложения о сумме углов треугольника, а Валлис показал, что не только из V постулата можно вывести учение о подобии, но и обратно – их евклидова учения о подобии следует V постулат.

Один из обнадеживающих способов подхода к доказательству пятого постулата, которым пользовались многие геометры XVIII и первой половины XIX веков, состоит в том, что пятый постулат заменяется его отрицанием или каким-либо утверждением, эквивалентным отрицанию. Опираясь на измененную таким образом систему постулатов и аксиом, доказываются всевозможные предложения, логически из нее вытекающие. Если пятый постулат действит

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать