Построение решения задачи Гурса для телеграфного уравнения методом Римана

Міністерство освіти та науки України

Дніпропетровський національний університет

Механіко-математичний факультет

Кафедра диференційних рівнянь

Реферат

Сторінок: 31, рисунків: 2, джерел: 4.

Ключеві слова : рівняння гіперболічного типу, характеристики, задача Гурса, метод послідовних наближень, спряжений оператор, формула Гріна, функція Рімана.

Мета роботи : в даній роботі необхідно ознайомитись з методом отримання розв’язку задачі Гурса для телеграфного рівняння (1.1) з початковими умовами (1.2); довести існування та єдиність цього розв’язку; навести приклади та вказати області вживання цього методу у прикладних науках.

Вступ § 1. Постановка задачі.

Нехай дано рівняння

(1.1)

Треба знайти розв’язок цього рівняння в області D(рис. 1)

якщо задані крайові умови

u(x₀ , t) = j(t);

u(x, t₀ ) = y(x), (1.2)

при цьому функції j(t) та y(x) ддиференцьовані, та задовільнюють умові спряження

j(t₀ ) = y(x₀ ).

Така задача називається задачею з даними на характкристиках, або задачею Гурса.

§2 Приведення до канонічного вигляду гіперболічного рівняння другого порядку з двома незалежними змінними. Характеристики.

Розглянемо рівняння другого порядку з двома незалежними змінними

, (2.1)

де коефіцієнти А, В та С – функції від x та y, які мають неперервні похідні до другого порядку включно у області WÌ R. За допомогою перетворення змінних

x = j(х, у), h = y(х, у),

яке припускає обернене перетворення, ми отримуємо нове рівняння, еквівалентне рівнянню (2.1). При цьому будемо мати

(2.2)

підставляючи значення похідних з(2.2) в (2.1), будемо мати:

, (2.3)

де

,

а функція не залежить від других похідних. Замітимо, що якщо рівняння (2.1) було лінійно, то й рівняння (2.3) буде лінійним.

Рівняння (2.1) пов’язано з рівнянням:

Аdy² +2Вdydx+Сdx² =0 (2.4)

яке має назву рівнянням характеристичних змінних, а його інтеграли – характеристиками для рівняння (2.1).

(2.5)

Нехай j(x,y)=const є загальним інтегралом рівняння (2.4), тоді покладемо x=j(x,y) і коефіцієнт буде дорівнювати нулю, якщо y(x,y)= const другий, відмінний від першого інтеграл, то заміною h=y(x,y) ми доб’ємось, щоб =0.

Як видно з формули (2.5), рівняння (2.4) може мати різні розв’язки, один розв’язок або не мати розв’язків взагалі в залежності від знаку В² –АС.

Рівняння (2.1) у деякій точці М(x,y) будемо називати:

1) рівнянням гіперболічного типу, якщо В² –АС>0;

2) рівнянням параболічного типу, якщо В² –АС=0;

3) рівнянням параболічного типу, якщо В² –АС<0.

Відмітимо, що при довільній заміні змінних (2.2) виконується рівність

тобто при будь – якому перетворенні змінних, у якого якобіан відмінний від нуля, тип рівняння (2.1) не змінюється.

Розглянемо випадок, коли рівняння (2.1) має гіперболічний тип у деякій області GÌW. У цій області характеристичне рівняння має два різних загальних інтеграла j(x,y)=const та y(x,y)=const.

Зробимо заміну описану вище: x=j(x,y) та h=y(x,y), отримаємо:

(2.6)

де

Рівняння (2.6) називається канонічною формою рівнянь гіпер-болічного типу. Покажемо, що характеристиками рівняння (2.6) будуть прямі, паралельні координатним осям, тобто x = const, h = const.

Для (2.6) рівнянням характеристичних змінних буде

dxdh = 0.

Звідки будемо мати

x = const, h = const.

§3 Формула Остроградського-Гаусса.

Нехай P(x, y, z), Q(x, y, z) и R(x, y, z) – три функциї змінних x, y, z, які задані у області D’ и мають в ній неперервні похідні першого порядку по x, по y та по z.

Розглянемо у D’ деяку замкнену поверхню S, яка складається з скінченного числа кусків з неперервно змінюючеюся на них дотичною площиною.

Таку поверхню називають кусочно-гладкою. Ми будемо, крім того, вважати, що прямі, паралельні координатним осям, зустрічають її або у скінченному числі точок, або мають загальним цілий відрізок.

Розглянемо інтеграл

, (3.1)

де через cos(nx), cos(ny), cos(nz) обозначені косінуси кутов, які складені внутрішньою нормаллю до поверхні S з осями координат, а dS – додатній елемент поверхні. користуючись векторними позначеннями, ми можемо вважати P, Q, R компонентами деякого вектора, який позначимо літерою Т. Тоді

P cos(nx) + Q cos(ny) + Rcos(nz) = T_n ,

де T_n – проєкція вектора Т на напрям внутрішньої нормалі.

Класична теорема з інтегрального счислення дозволяє перейти від поверхневого інтегралу (3.1) до об’ємного, расповсюдженого на область D, обмежену гладкою поверхнею S (яка задовольняє всім обмеженням, які було наведено вище). Ми будемо мати:

або у векторних позначеннях

(3.2)

где dv означає диференціал об’єму, а

.

Приведена нами формула справедлива у більш загальних припущеннях відносно S. Зокрема, формула (3.2) має місце для будь-якій кусочно – гладкої поверхні S, яка обмеж

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать