Еволюційні рівняння з псевдо-Бесселевими операторами

Чернівецький національний університет

імені Юрія Федьковича

ЛЕНЮК ОЛЕГ МИХАЙЛОВИЧ

УДК 517.956

ЕВОЛЮЦІЙНІ РІВНЯННЯ З

ПСЕВДО-БЕССЕЛЕВИМИ ОПЕРАТОРАМИ

01.01.02 – диференціальні рівняння

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

кандидата фізико-математичних наук

Чернівці – 2008

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальнiсть теми. Останнi десятилiття інтенсивно розвивається теорiя псевдодиференцiальних операторiв (ПДО), якi формально можна подати у виглядi $F_{sigmatox}^{-1}[a(t,x;sigma)F_{xtosigma}]$, ${x,sigma}subset mathbb{R}^{n}$, $t>0$, де $a$,-- функцiя (символ), що задовольняє певнi умови, $F$, $F^{-1}$,-- пряме та обернене перетворення Фур'є. Iмпульсом для такого розвитку послужив той факт, що ПДО тiсно пов'язанi з важливими задачами аналiзу i сучасної математичної фiзики. Серед нових роздiлiв цiєї теорії особливої уваги заслуговує теорiя рiвнянь з ПДО, побудованими за негладкими однорiдними символами. Випадок однорiдних символiв має важливi застосування в теорiї випадкових процесiв. Теорiя ПДО з негладкими символами тiсно пов'язана також iз сучасною теорією фракталiв.

Дослiдженням ПДО та задачi Кошi для еволюцiйних рiвнянь з ПДО займалось багато математикiв, використовуючи рiзнi методи i пiдходи (M. Nagase, R. Shinkai, C. Tsutsumi, М.А. Шубiн, М. Тейлор, Л. Хермандер, Ю.А. Дубiнський, Б.Й. Пташник та iн.); при цьому одержанi значнi i важливi результати про розв'язнiсть задачi Кошi у рiзних функцiональних просторах.

У теорiї задачi Кошi для параболiчних псевдо диференціальних рiвнянь (ППДР) на теперiшнiй час добре вiдомi результати про будову та оцiнки фундаментальних розв'язкiв задачi Кошi (ФРЗК), за допомогою яких одержанi iнтегральнi зображення розв'язкiв. Якщо символ не залежить вiд $t$, $x$ (тобто $a=a(sigma)$), то задача Кошi коректно розв'язна в просторi узагальнених функцiй типу розподiлiв; при цьому розв'язок подається у виглядi згортки ФРЗК з початковою умовою, яка є узагальненою функцiєю. Дослiдженi якiснi властивостi розв'язкiв ППДР та систем таких рiвнянь (зокрема, поведiнка розв'язкiв при необмеженому зростаннi часової змiнної, їх невiд'ємнiсть, стiйкiсть за Ляпуновим, теореми типу Лiувiлля).

Цi результати є науковим надбанням ряду вiтчизняних та зарубiжних математикiв, зокрема, С.Д. Ейдельмана, Я.М. Дрiня, М.В. Федорюка, А.Н. Кочубея, В.В. Городецького, В.А. Лiтовченка, Р.Я. Дрiня та iн.

До псевдодиференцiальних рiвнянь формально можна вiднести i сингулярнi еволюцiйнi рiвняння з оператором Бесселя ($B$-параболiчнi рiвняння), який вироджується по певнiй просторовiй змiннiй, а саме рiвняння при цьому вироджується на межi областi, оскiльки оператор Бесселя $B_{nu}=frac{d^2}{dx^2}+frac{2nu+1}{x}frac{d}{dx}$, $nu>-frac{1}{2}$, можна визначити за допомогою спiввiдношення $B_{nu}varphi=-F_{B_{nu}}^{-1}[sigma^2F_{B_{nu}}[varphi]]$, де $F_{B_{nu}}$, $F_{ B_{nu}}^{-1}$,-- пряме та обернене перетворення Бесселя, $varphi$,-- елемент простору, в якому вказане перетворення визначене. Класична теорiя задачi Кошi та крайових задач для сингулярних параболiчних рiвнянь побудована в працях I.А. Кiпрiянова, В.В. Катрахова, М.I. Матiйчука, В.В. Крехiвського, С.Д. Iвасишена, В.П. Лавренчука, I.I. Веренич та iн. Задача Кошi для сингулярних параболiчних рiвнянь у класах розподiлiв та у класах узагальнених функцiй типу $S^{prime}$ та типу $W^{prime}$ вивчалась Я.I. Житомирським, В.В. Городецьким, I.В. Житарюком, В.П. Лавренчуком, О.В Мартинюк.

До класу псевдодиференцiальних рiвнянь природно вiднести еволюцiйнi рiвняння з оператором $A=F_{B_{nu}}^{-1}[acdotF_{B_{nu}}]$, де $a$,-- однорiдний негладкий у точцi $0$ символ. Для таких рiвнянь задача Кошi не вивчена. Оператор $A$ надалi називатимемо псевдо-Бесселевим оператором. Отже, актуальним є питання про розвиток теорiї задачi Кошi (та двоточкової задачi) для еволюцiйного рiвняння вигляду $$frac{partial u(t,x)}{partial t}+Au(t,x)=0,hspace{0.3cm}tin(0,T), xin mathbb{R}_+, eqno(1) $$ одержання для таких рiвнянь результатiв, подiбних до вiдомих у теорiї задачi Кошi для параболiчних псевдодиференцiальних рiвнянь зi сталим символом $a=a(sigma)$ (тобто символом, не залежним вiд $t$, $x$) та початковими умовами, якi є узагальненими функцiями типу розподiлiв. Одним з основних методiв дослiдження задачi Кошi для (1) є метод перетворення Бесселя, тому важливим є питання побудови теорiї такого перетворення вiдповiдних просторiв основних та узагальнених функцiй одночасно з теорiєю задачi Кошi для (1). Властивостi простору основних функцiй iстотно залежать від властивостей символа оператора $A$,-- функцiї $a$. Якщо позначити цей простiр через $stackrel{o}{Phi}$, то $$stackrel{o}{Phi}=left{varphiin C^{infty}(mathbb{R})|forallalphain mathbb{Z}_+, exists c_{alpha}>0,:, |D_x^{alpha}varphi(x)|le c_{alpha}(1+|x|)^{-(alpha+gamma_0)}, , xin mathbb{R}right}, $$ де $gamma_0>0$,-- фiксований параметр, кожна функцiя з $stackrel{o}{Phi}$ є парною.

Дисертацiйна робота присвячена розв'язанню вказаних проблем для еволюцiйних рiвнянь з псевдо-Бесселевими операторами в класах початкових даних, якi є узагальненими функцiями з простору $(stackrel{o} {Phi})^{prime}$ (простору, топологiчно спряженого до простору основних функцiй $stackrel{o}{Phi}$).

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами . Дисертацiя виконана в рамках науково-дослiдних робіт ''Нерегу