Симметрия молекул и кристаллов

Симметрия молекул и кристаллов

Преобразования симметрии

1. Симметрия тела определяется совокупностью тех перемещений, которые совмещают тело с самим собой; об этих перемещениях говорят как о преобразованиях симметрии. Каждое из возможных преобразований симметрии можно представит в виде комбинации одного или нескольких из трех основных типов преобразовании. Этими тремя существенно различными видами преобразовании являются:

1 - поворот тела на определенный угол вокруг некоторой оси;

2 - зеркальное отражение в некоторой плоскости;

3 - параллельный перенос тела на некоторое расстояние.

Последним типом преобразований может обладать лишь бесконечная среда (кристаллическая решетка). Тело же конечных размеров (молекула) может быть симметрична только по отношению к поворотам и отражениям.

2. Если тело совмещается само с собой при повороте вокруг некоторой оси на угол j=2 p/ n , то такая ось называется осью симметрии n -го порядка и обозначается C_n . Число n может иметь различные целые значения n =2,3.4 ... Значение n=1 соответствует повороту на угол 2 p/1 , или 0 , т.е. соответствует тождественному преобразованию. Повторяя операцию C_n два, три и т.д. раз получаем поворот на угол 2 ×2 p/n , 3 ×2 p/n ,... и т.д. Эти повороты также совмещают тело само с собой и обозначаются C_n ² , C_n ³ и т.д. Очевидно, что если n кратно p , то C_n ^p =C_n /p . Произведя преобразования n раз, мы вернемся в первоначальное положение, т.е. произведем тождественное преобразование, которое принято обозначать символом Е .

3. Если тело совмещается само с собой при зеркальном отражении в некоторой плоскости s, то такая плоскость называется плоскостью симметрии. Операцию отражения обычно обозначают также символом s . Очевидно, что двукратное отражение в одной плоскости есть тождественное преобразование ss^-1 =Е .

4. Одновременное применение обоих преобразований поворота и отражения приводим к так называемой зеркально-поворотной оси S_n . Тело обладает зеркально-поворотной осью n -го порядка, если оно совмещается с самим собой при повороте вокруг этой оси на угол 2 p/n и последующем отражении в плоскости s_h , перпендикулярной к этой оси. Это новый вид симметрии, если n четное. Если n -нечетное, то применение этой операции n раз даст поворот на угол 2 p/n , а нечетное отражение в плоскости даст простое отражение. Только при четном n применение n раз этой операции даст тождественное преобразование, т.е. sS_2p ^2p =E . Зеркально-поворотное преобразование обозначается S_n . Поскольку при отражении в плоскости s , перпендикулярной оси C_n принято ставить индекс h при s плоскость обозначается s_h . Важным случаем является зеркально-поворотная ось второго порядка S₂ . Легко сообразить, что поворот на угол j с последующим отражением в плоскости s_h , представляет собой преобразование инверсии I , при котором происходит отражение тела в точке пересечения оси C₂ и плоскости s_h . I=S₂ =C₂ × s_h ; I × s_h =C₂ ; I ×C₂ = s_h , т.е. C₂ , s_h и I взаимно зависимы: наличие любых двух элементов приводит к существованию третьего.

5. Произведение двух поворотов вокруг осей, пересекающих в точке А есть также некоторое вращение вокруг оси, проходящей через точку А . Ось вращения и угол результирующего движения определяются осями и углами исходных поворотов. Произведение двух отражений s₁ и s₂ в пересекающихся под углом j плоскостях, эквивалентно повороту вокруг оси, совпадающей с линией пересечения этих плоскостей на угол 2 j , т.е. s₂ s₁ =C (2j). Действительно, умножая последнее равенство на s₂ , получимs₁ = s₂ ×C (2 j), т.е. произведение поворота на угол 2 j и отражения в плоскости, проходящей через эту ось, эквивалентно отражению в другой плоскости, пересекающейся с первой под углом j.

Другой важный результат состоит в том, что произведения двух вращений на угол p вокруг пересекающихся под углом j осей U и V эквивалентно вращению вокруг оси ММ , перпендикулярной плоскости, в которой находятся оси U и V , на угол 2 j=2 (V,U). Действительно, при двух кратном вращении вокруг U и V линия ММ остается в прежнем положении, т.е. это вращение вокруг оси ММ . Для опр