Понятие случайного процесса в математике

Министерство образования и науки РФ

Череповецкий государственный университет

Инженерно-экономический институт

Реферат

Понятие случайного процесса в математике

Выполняла студентка

группы 5 ГМУ-21

Иванова Юлия

Череповец

2009

Содержание

Введение

Основная часть

· Определение случайного процесса и его характеристики

· Марковские случайные процессы с дискретными состояниями

· Стационарные случайные процессы

· Эргодическое свойство стационарных случайных процессов

Литература

Введение

Понятие случайного процесса введено в XX столетии и связано с именами А.Н. Колмогорова (1903-1987), А.Я. Хинчина (1894-1959), Е.Е. Слуцкого (1880-1948), Н. Винера (1894-1965).

Это понятие в наши дни является одним из центральных не только в теории вероятностей, но также в естествознании, инженерном деле, экономике, организации производства, теории связи. Теория случайных процессов принадлежит к категории наиболее быстро развивающихся математических дисциплин. Несомненно, что это обстоятельство в значительной мере определяется ее глубокими связями с практикой. XX век не мог удовлетвориться тем идейным наследием, которое было получено от прошлого. Действительно, в то время, как физика, биолога, инженера интересовал процесс, т.е. изменение изучаемого явления во времени, теория вероятностей предлагала им в качестве математического аппарата лишь средства, изучавшие стационарные состояния.

Для исследования изменения во времени теория вероятностей конца XIX - начала XX века не имела ни разработанных частных схем, ни тем более общих приемов. А необходимость их создания буквально стучала в окна и двери математической науки. Изучение броуновского движения в физике подвело математику к порогу создания теории случайных процессов.

Считаю необходимым упомянуть еще о двух важных группах исследований, начатых в разное время и по разным поводам.

Во-первых, эта работы А.А. Маркова (1856-1922) по изучению цепных зависимостей. Во-вторых, работы Е.Е. Слуцкого (1880-1948) по теории случайных функций.

Оба этих направления играли очень существенную роль в формировании общей теории случайных процессов.

Для этой цели уже был накоплен значительный исходный материал, и необходимость построения теории как бы носились в воздухе.

Оставалось осуществить глубокий анализ имеющихся работ, высказанных в них идей и результатов и на его базе осуществить необходимый синтез.

Определение случайного процесса и его характеристики

Определение : Случайным процессом X(t) называется процесс, значение которого при любом значении аргумента tявляется случайной величиной.

Другими словами, случайный процесс представляет собой функцию, которая в результате испытания может принять тот или иной конкретный вид, неизвестный заранее. При фиксированном t=t₀ X(t₀ ) представляет собой обычную случайную величину, т.е. сечение случайного процесса в момент t_0.

Примеры случайных процессов:

1.численность населения региона с течением времени;

2.число заявок, поступающих в ремонтную службу фирмы, с течением времени.

Случайный процесс можно записать в виде функции двух переменных X(t,ω), где ω€Ω, t€T, X(t, ω) € ≡ и ω – элементарное событие, Ω - пространство элементарных событий, Т – множество значений аргумента t, ≡ - множество возможных значений случайного процесса X(t, ω).

Реализацией случайного процесса X(t, ω) называется неслучайная функция x(t), в которую превращается случайный процесс X(t) в результате испытания (при фиксированном ω), т.е. конкретный вид, принимаемый случайным процессом X(t), его траектория.

Таким образом, случайный процесс X(t, ω) совмещает в себе черты случайной величины и функции. Если зафиксировать значение аргумента t, случайный процесс превращается в обычную случайную величину, если зафиксировать ω, то в результате каждого испытания он превращается в обычную неслучайную функцию. В дальнейшем изложении опустим аргумент ω, но он будет подразумеваться по умолчанию.

На рисунке 1 изображено несколько реализаций некоторого случайного процесса. Пусть сечение этого процесса при данном tявляется непрерывной случайной величиной. Тогда случайный процесс X(t) при данном t определяется полностью вероятности φ(x‚ t). Очевидно, что плотность φ(x, t) не является исчерпывающим описанием случайного процесса X(t), ибо она не выражает зависимости между его сечениями в разные моменты времени.

Случайный процесс X(t) представляет собой совокупность всех сечений при всевозможных значений t, поэтому для его описания необходимо рассматривать многомерную случайную величину (X(t₁ ), X(t₂ ), …, X(t_n )), состоящей из всех сочетаний этого процесса. В принципе таких сочетаний бесконечно много, но для описания случайного процесса удаётся часть обойтись относительно небольшим количеством сочетаний.

Говорят, что случайный процесс имеет порядок n , если он полностью определяется плотностью совместного распределения φ(x_1, x₂ , …, x_n ; t

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать