История возникновения и развития методов реконструкции математических моделей динамических систем

РЕФЕРАТ

для сдачи кандидатского экзамена по истории и философии науки

(История математики)

Тема: «История возникновения и развития методов реконструкции математических моделей динамических систем по порождаемому временному ряду»

СОДЕРЖАНИЕ

Введение……………………………………………………………………….......3

§ 1. Возникновение и развитие теории динамических систем………………...5

§ 2. Развитие методов реконструкции математических моделей динамических систем…………………………………………………………………………….15

Заключение……………………………………………………………………….23

Список литературы………………………………………………………………24

Введение

В развитии различных областей человеческой деятельности математика оказывала и оказывает существенное влияние.Современное развитие науки характеризуется потребностью изучения всевозможных сложных процессов и явлений. Происходит значительное увеличение темпов математизации и расширение ее области действия. Теории математики широко применяются в других науках, казалось бы совершенно от нее далеких – лингвистике, юриспруденции. Это вызвано естественным процессом развития научного знания, который потребовал привлечения нового и более совершенного математического аппарата, проявлением новых разделов математики, а также кибернетики, вычислительной техники и так далее, что значительно увеличило возможности ее применения.

Математическое моделирование по временным рядам – бурно развивающееся направление математической статистики и нелинейной динамики. Оно возникло с аппроксимации множества экспериментальных точек на плоскости гладкой линией. В настоящее время эмпирические модели имеют вид сложных дифференциальных и разностных уравнений и способны описывать даже нелинейные колебательно-волновые феномены.

Использование современных компьютеров с их большими объемами памяти и скоростями обработки данных и современными математическими пакетами в значительной степени облегчает получение модельных систем нелинейных уравнений, обработку сложных зашумленных сигналов, типичных для реальных объектов и ситуаций. Практические приложения эмпирических моделей весьма разнообразны – от прогнозов будущего до технической и медицинской диагностики, но процедуры их получения формализовать чрезвычайно сложно[4].

В реферате предпринята попытка рассмотреть исторические и философские аспекты возникновения и развития методов реконструкции математических моделей динамических систем. В первом параграфе рассмотрено возникновение теории динамических систем, понятий динамическая систем, вычислительный эксперимент, математическая модель и хаос . Во втором параграфе рассматривается развитие методов реконструкции математических моделей динамических систем, применения компьютеров для проведения вычислительных экспериментов.

§ 1. Возникновение и развитие теории динамических систем

Первая линия развития, которая вела к появлению теории динамических систем, связана с небесной механикой. Основоположниками классической механики принято считать Исаака Ньютона, Жозефа Луи Лагранжа, Пьера Симона Лапласа, Уильяма Гамильтона. Результатом их деятельности стало формирование представления о том, что сейчас называют гамильтоновой или консервативной динамической системой. Проблема трёх тел в небесной динамике, – первая задача, анализируя которую исследователи столкнулись с возникновением сложной динамики и хаоса. Впервые об этом написал Анри Пуанкаре. Результатом изучения системы трёх тел стало развитие теории возмущений.

С развитием компьютеров возможности изучения и наглядного представления сложной динамики расширились. Одним из первых примеров компьютерного исследования сложной динамики стала работа французских астрофизиков, рассмотревших модель движения звезды через галактический диск.

Значительный прогресс в понимании соотношения между квазипериодической динамикой и хаосом связан с теорией, разработанной в 50-60-х годах А.Н. Колмогоровым и В.И. Арнольд, а также американцем Ю. Мозером. В качественном отношении большое значение получили работы Б.В. Чирикова и Г.М. Заславского.

Вторая линия развития связана со статической физикой и формированием эргодической теории. Как известно, состоятельное описание в статической физике достигается только в рамках квантовой теории. Однако, много важного было сделано в предположении, что на фундаментальном уровне законы движения микрочастиц, из которых построены физические системы, подчиняются классической гамильтоновой механике. Основоположники статистической физики Д.У. Гиббс и Л. Больцман рассматривали фазовое пространство гамильтоновых систем, образованных совокупностью большого числа микрочастиц. В силу закона сохранения энергии, предоставленная сама себе система должна оставаться всё время на некоторой гиперповерхности в этом пространстве, задаваемой условием постоянства энергии. Больцман ввёл эргодическую гипотезу – предположение о том, что имеется по существу только одна фазовая траектория, проходящая через все точки эргодической поверхности. В 1913 году было доказано, что такое невозможно. Исправленная версия (П. Эренфест) состоит в том, что фазовая траектория с течением времени должна проходить сколь угодно близко от любой точки эргодической поверхности. Результатом стало формирование отдельной математической дисциплины – эргодической теории или метрической теории динамических систем.

Появление компьютеров