Теоремы сложения и умножения вероятностей, вероятность появления хотябы одного события

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ………………………………………………………………………3

1. Определение вероятности …………………………………………………….4

1.1 Классическое определение ………………………………………………….5

1.2 Геометрическое определение ……………………………………………….7

2. Теорема сложения вероятностей …………………………………………….9

3. Теорема умножения вероятностей ………………………………………….12

4. Случайные события………………………………………………………….15

4.1 Случайные события и величины, их основные характеристики ……….15

4. Взаимодействие случайных событий ……………………………………….17

4.3 Схемы случайных событий и законы распределения случайных величин ……………………………………………………………………………….23

ЗАКЛЮЧЕНИЕ ………………………………………………………………….27

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ …………………………….28

ВВЕДЕНИЕ

В настоящее время трудно представить исследование и прогнозирование экономических процессов без использования методов, опирающихся на теорию вероятностей. При принятии решений в области бизнеса, финансов, менеджмента основой корректности и, в конечном счете, успеха является правильный учет и анализ больших объемов статистической информации, а также грамотная оценка вероятностей происхождения тех или иных событий. Теоретической основой существующих специальных приемов и методов решения задач экономики являются теория вероятностей и математическая статистика.

Сочетание слов «теория вероятностей» для неискушенного человека производит несколько странное впечатление. В самом деле, слово «теория» связывается с наукой, а наука изучает закономерные явления; слово «вероятность» в обычном языке связывается с чем-то неопределенным, случайным, незакономерным. Поэтому люди, знающие о существовании теории вероятностей только понаслышке, говорят о ней часто иронически. Однако теория вероятностей – это большой, интенсивно развивающийся раздел математики, изучающий случайные явления.

В данной работе мы обратим внимание прежде всего на подходы к определению категории «вероятность». Второй интересующий нас момент – теоремы сложения и умножения вероятностей.

1. Определение вероятности

Рассматривая различные случайные события при выполнении одних и тех же условий G, нетрудно убедиться в том, что каждое из них обладает какой-то степенью возможности: одни большей, другие – меньшей. Так, например, события A= {появление дамы пик} и C = {появление карты бубновой масти} различаются возможностью происхождения в одних и тех же условиях. А события A = {появление герба} и B = {появление цифры} одинаково возможны при одном подбрасывании «правильной» монеты, т. е. монеты правильной формы и сделанной из однородного материала.

Для того чтобы количественно сравнивать между собой события по степени их возможности, очевидно необходимо с каждым событием связать определенное число, которое тем больше, чем более возможно событие. Такое число назовем вероятностью события. Таким образом, вероятность события есть численная мера степени объективной возможности происхождения этого события в некоторых условиях. Будем говорить, что при выполнении комплекса условий G событие А происходит с вероятностью P(A).

Сравнивая между собой различные события по степени их возможности, мы должны установить какую-либо единицу измерения. В качестве такой единицы измерения естественно принять вероятность достоверного события, т. е. такого, которое в результате опыта непременно должно произойти. Если приписать достоверному событию вероятность, равную единице, то все другие события – возможные, но не достоверные – будут характеризоваться вероятностями, меньшими единицы, составляющими какую-то долю единицы.

Противоположностью по отношению к достоверному событию является невозможное событие, т. е. такое, которое в данном опыте не может произойти.

Естественно приписать невозможному событию вероятность, равную нулю. Таким образом, P(Ø)= 0, 0 < P(A) <1.

Для определения вероятности события существуют различные подходы.

1.1 Классическое определение

Классическое определение вероятности сводит понятие вероятности к понятию равновероятности или равновозможности событий, которое считается основным и не подлежит формальному определению. Под равновозможными понимаются события, которые в силу тех или других причин (например, симметрии) не имеют объективного преимущества одно перед другим.

Если событие А подразделяется на m частных случаев, входящих в полную группу, состоящую из n равновозможных, попарно несовместных событий, то вероятность события А определяется как

(1.1)

Справедливость классического определения вероятности, т. е. справедливость формулы (1.1) можно обосновать следующим образом. Если под вероятностью события А понимать число

где p(ω) – вероятности элементарных событий, определенные таким образом, что

то для пространства элементарных событий Ω , состоящего из n равновозможных исходов, для всех. Тогда вероятность события А = {}, состоящего из m элементов, будет равна отношению числа элементарных событий , входящих в А, к общему числу элементарных событий в Ω:

Здесь число элементов любого конечного множества M будем обозначать .

По-иному можно сказать, что вероятность события А, определяемая по формуле (1.1), равна отношению числа возможных исходов испытания, благоприятных наступлению события А, к числу всех возможных исходов испытани

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать