Линейные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

§ I . МЕТОД ЭЙЛЕРА

211. Предварительные замечания. В этой главе мы будем изучать линейные системы уравнений:

Или (1′)

Где коэффициенты a_kl =(k, l=1,2,…,n) – постоянные вещественные числа, а f_k (x) (k=1,2,…,n) – функции от х, непрерывные в интервале (a,b).

Применяя общую теорию линейных систем уравнений, изложенную в предыдущей главе, мы покажем, что система (1) всегда может быть проинтегрирована в конечном виде, т. е. либо в элементар- ных функциях, либо в квадратурах.

Так как интегрирование неоднородной линейной системы приводится к интегрированию соответствующей однородной си­стемы, то рассмотрим сначала вопрос о построении общего решения однородной системы:

В силу теоремы о построении общего решения, для построения общего решения системы (2) достаточно построить хоть одну фундаментальную систему решений.

Применяя теорему о существовании фундаментальной системы решений, мы видим, что существует фунда­ментальная система решений, определенных и непрерывных в промежутке

Более того, согласно замечанию теоремы о существовании фундаментальной системы решений, существует фундаментальная система решений, голо­морфных в интервале .

Мы покажем, что фундаментальная система решений может быть построена из элементарных функций, голоморфных в интервале .

212. Построение фундаментальной системы решений и об­щего решения однородной линейной системы в случае различ­ ных корней характеристического уравнения. По аналогии с однородным линейным уравнением с постоянными коэффици­ентами будем искать частное решение системы (2) в виде

(3)

g₁ , g₂ , ..,g_n и l - некоторые постоянные числа, причем числа g₁ , g₂ , ..,g_n не равны нулю одновременно, ибо в про­тивном случае мы получили бы очевидное нулевое решение, которое не может входить в состав фунда- ментальной системы и, следовательно, не может быть использовано для построения общего решения.

Обратим особое внимание на то, что число l мы берем одно и то же для всех функций, составляющих решение.

Подставляя функции (3) в систему (2), сокращая на е ^{l x} и пере- нося все члены направо, получим для определения чи­сел g_k следующую систему:

(4)

Нас интересует ненулевое решение этой системы. Такое решение существует лишь при условии, что определитель си­стемы равен нулю, т. е. при условии

(5)

Уравнение (5) называется характеристическим уравнением системы

(2), его корни— характеристическими числами, а оп­ределитель D(l) -характеристическим определителем.

Рассмотрим сначала случай, когда все характеристические числа

l₁ ,l₂ ,...,l_n различны. В этом случае имеем: D(l_i )=0, но Вследствие этого ранг матрицы

Составленной из коэффициентов системы

которая получается из системы (4) после замены в ней l на l_i - равен n-1.

Действительно, вычисляя D’(l), имеем:

где D_ll (l) - алгебраическое дополнение элемента a_ll - l определителя D(l). Так как то из (8) видим, что хоть один из определи- телей (п —1)-го порядка, именно один из D_ll (l_i ), отличен от нуля, так что ранг рассматриваемой матрицы ра­вен п — 1.

Поэтому одно из уравнений системы (7) есть следствие осталь-ных и эта система имеет ненулевое решение, определен­ное с точ-ностью до произвольного множителя пропорциональ­ности A_i :

g_i1 = A_i m_i1 , g_i2 = A_i m_i2 ,…, g_in = A_i m_in (i =1.2,…, n). (9)

Например, в качестве g_ik можно взять алгебраические до­полнения элементов любой строки определителя D_l (l_i ), если не все они равны нулю. В самом деле, так как сумма произведе­ний элементов какой-либо строки определителя D_l (l_i ) на алге­браические дополнения эле-ментов другой строки равна нулю, а сумма произведений элементов строки на их алгебраические дополнения равна самому определителю D(l_i ) т. е. снова равна нулю, то ясно, что, заменив в системе (7) неизвестные g_k взя­тыми алгебраическими дополнениями, мы получим тождества.

Фиксируя в формулах (9) множитель A_i , мы получим определен-ное решение системы (7).

Подставляя теперь в (3) вместо l последовательно характе­ристи-ческие числа l_i ,а вместо g₁ , g₂ ,..., g_n — соответствующие им решения системы (7), определяемые формулами (9) при фиксированных множителях A_i , получим п решений:

Эти решения линейно независимы в интервале .

Если при этом все корни l₁