Интеграл по комплексной переменной

Определение 1: Кривая Г называется гладкой ,если она имеет непрерывно изменяющуюся касательную.

Определение 2: Кривая называется кусочно-гладкой ,если она состоит из конечного числа гладких дуг.

Основные свойства : Пусть на комплексной плоскости Z задана кусочно-гладкая кривая С длиной l, используя параметрическое задание кривой С зададим h(t) и x (t), где h и x являются кусочно-гладкими кривыми от действительной переменной t. Пусть a<= t<=b, причем a и b могут быть бесконечными числами .

Пусть x и h удовлетворяют условию : [x‘(t)]2 + [h‘(t)]2 ¹ 0. Очевидно, что задание координат h =h(t) и x=x (t), равносильно заданию комплексной функции z (t)= x (t) + ih(t).

Пусть в каждой точке z (t) кривой С определена некоторая функция f (z ). Разобьем кривую С на n – частичных дуг точками деления z0 , z1 , z2 , …, z n-1 соответствующие возрастающим значениям параметра t, т.е. t0, t1, …, t i+1 > t i.

Dz i =z i – z i-1. Составим интегрируемую функцию S = åf (z*)Dz i . (1)
где z*– производная точки этой дуги.

Если при стремлении max |Dz i |® 0 существует предел частных сумм не зависящий ни от способа разбиения кривой С на частичные дуги, ни от выбора точек z i , то этот предел называется интегралом от функции f (z ) по кривой С.

(2)

f (zi* ) = u (Pi*) + iv (Pi*) (3)

где Dz i = Dx (t) + iDh(t) (x (t) и h(t) - действительные числа)

Подставив (3) в (1) получим :

(4)

Очевидно, что (4) состоит из суммы двух частных сумм, криволинейных интегралов действительной переменной. Переходя в (4) к пределу при Dx и Dh ® 0 и предполагая, что данные пределы существуют, получаем :

(5)

Заметим, что для существования криволинейного интегралов, входящих в (5), а тем самым и для существования интеграла (2) достаточно кусочной непрерывности функций u и v. Это означает, что (2) существует и в случае неаналитичности функции f (z ).

Сформулируем некоторые свойства интеграла от функции комплексной переменной. Из равенства (5) следуют свойства :

О ограниченности интеграла.

7.) Пусть Cp – окружность радиуса r, с центром в точке Z0. Обход вокруг контура Cp осуществляется против часовой стрелки. Cp : z = Z0 + r×eij, 0 £ j £ 2p, dz = ir×eij dj .

Кусочно-гладкую замкнутую кривую будем называть замкнутым контуром, а интеграл по замкнутому контуру – контурным интегралом.

ТЕОРЕМА КОШИ.

В качестве положительного обхода контура выберем направление при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром остается слева от направления движения :

Для действительной переменной имеют место формулы Грина. Известно, что если функции P(x, y) и Q(x, y) являются непрерывными в некоторой заданной области G, ограниченны кусочно-гладкой кривой С, а их частные производные 1-го порядка непрерывны в G, то имеет место формула Грина:

( 8 )

ТЕОРЕМА : Пусть в односвязной области G задана аналитическая функция f(Z), тогда интеграл от этой функции по замкнутому контуру Г целиком лежащему в G , равен нулю.

Доказательство : из формулы (5) следует:

Т.к. f(z ) аналитическая всюду, то U(x, y), V(x, y) - непрерывны в области, ограниченной этим контуром и при этом выполняются условия Коши-Римана. Используя свойство криволинейных интегралов:

Аналогично :

По условию Коши-Римана в последних равенствах скобки равны нулю, а значит и оба криволинейных интеграла равны нулю. Отсюда :

ТЕОРЕМА 2 (Вторая формулировка теоремы Коши) : Если функция f(z) является аналитической в односвязной области G, ограниченной кусочно-гладким контуром C, и непрерывна в замкнутой области G, то интеграл от такой функции по границе С области G равен нулю.

TEOPEMA 3 (Расширение теоремы Коши на многосвязную область) :

Пусть f (z) является аналитической функцией в многосвязной области G, ограниченной извне контуром С0, а изнутри контурами С1, С2, .. ,Сn (см. рис.). Пусть f (z) непрерывна в замкнутой области G, тогда :

, где С – полная граница области G, состоящая из контуров С1, С2, .. , Сn. Причем обход кривой С осуществляется в положительном направлении.

Неопределенный интеграл.

интеграл по какой-либо кривой, целиком лежащей в области G, содержащей Z0 и Z, в силу теории Коши этот интеграл не зависит от выбора кривой интегрирования и является однозначной функцией Ф(Z). Аналитическая функция Ф(Z) называется первообразной от функции f(Z) в области G, если в этой области имеет место равенство : Ф¢ (Z) = f( Z).

Определение: Совокупность всех первообразных называется неопределенным интегралом от комплексной функции f(Z). Так же как и в случае с функцией действительного переменного имеет место равенство :

( 9)

Это аналог формулы Ньютона-Лейбница.

Интеграл Коши. Вывод формулы Коши.

Ранее была сформулирована теорема Коши, которая позволяет установить связь между значениями аналитической функции во внутренних точках области ее аналитичности и граничными значениями этой функции.

По свойствам интегралов :

(2 )

Так как левый интеграл в (2) не зависит от выбора контура интегрирования, то и правый интеграл

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать