Задачи по теории вероятности 2

Работа №1

Случайные события

6 вариант.

Задача 1.1. Бросают три монеты. Найти вероятность того, что только на двух монетах появится ''герб''.

Исследуемое событие А – только на двух монетах из трех будет герб. У монеты две стороны, значит всего событий при бросании трех монет будет 8. В трех случаях только на двух монетах будет герб. Вероятность события А вычислим с помощью формулы :

Р(А) = m/n = 3/8.

Ответ : вероятность 3/8.

Задача 1.2. Слово СОБЫТИЕ составлено из карточек, на каждой из которых написана одна буква. Затем карточки смешивают и вынимают без возврата по одной. Найти вероятность того, что буквы вынимаются в порядке заданного слова.

Испытание заключается в вынимании карточек с буквами в случайном порядке без возврата. Элементарным событием является полученная последовательность букв. Событие А состоит в получении нужного слова СОБЫТИЕ. Элементарные события являются перестановками из 7 букв, значит, по формуле имеем n= 7!

Буквы в слове СОБЫТИЕне повторяются, поэтому не возможны перестановки, при которых слово не изменяется. Их число равно 1.

Таким образом,

Р(А) = 1/7! = 1/5040.

Ответ: Р(А) = 1/5040.

Задача 1.3. Как и в предыдущей задаче, найти соответствующую вероятность случая, когда заданным словом является слова АНТОНОВ ИЛЬЯ.

Эта задача решается аналогично предыдущей.

n= 11!; M = 2!*2! = 4.

Р(А) = 4/11 = 4/39916800 = 1/9979200

Ответ: Р(А) =1/9979200.

Задача 1.4. В урне содержится 8 черных и 6 белых шаров. Случайным образом вынимают 5 шаров. Найти вероятность того, что среди них имеется:

а) 3 белых шаров;

б) меньше, чем 3, белых шаров;

в) хотя бы один белый шар.

8 ч Испытанием будет случайное вынимание 5 шаров. Элементарными

6 б событиями являются всевозможные сочетания по 5 из 14 шаров. Их число равно

а) А₁ - среди вынутых шаров 3 белых. Значит, среди вынутых шаров 3 белых и 2 черных. Используя правило умножения, получаем

Р(А₁ ) = 560/2002 = 280/1001.

б) А₂ - среди вынутых шаров меньше чем 3 белых. Это событие состоит из трёх несовместных событий:

В₁ - среди вынутых шаров только 2 белых и 3 черных шара,

В₂ - среди вынутых шаров только один белый и 4 черных шара

В₃ - среди вынутых шаров нет ни одного белого, все 5 шаров черные:

А₂ = В₁ В₂ В_3.

Так как события В₁ , В₂ и В₃ несовместимы, можно использовать формулу:

Р(А₂ ) = Р(В₁ ) + Р(В₂ ) + Р(В₃ );

Р(А₂ ) = 840/2002 + 70/2002 + 56/2002 = 483/1001.

в) - среди вынутых шаров нет ни одного белого. В этом случае:

Р(А₃ ) = 1 - Р() = 1 - 28/1001 = 973/1001.

Ответ: Р(А₁ ) = 280/1001, Р(А₂ ) = 483/1001, Р(А₃ ) = 973/1001.

Задача 1.6. В первой урне 5 белых и 7 черных шаров, а во второй урне 6 белых и и 4 черных шаров. Из первой урны вынимают случайным образом 2 шара, а из второй - 2 шара. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров:

а) все шары одного цвета;

б) только три белых шара;

в) хотя бы один белый шар.

1 урна 2 урна Шары вынимали из обеих урн независимо. Испытаниями

5 б 6 б являются извлечение двух шаров из первой урны и двух шаров

7 ч 4 ч из второй урны. Элементарными событиями будут сочетания

_____ ______ по 2 или 2 из 12 или 10 шаров соответственно.

2 2 а) А₁ - все вынутые шары одного цвета, т.е. они или все белые,

или все черные.

Определим для каждой урны всевозможные события:

В₁ - из первой урны вынуты 2 белых шара;

В₂ - из первой урны вынуты 1 белых и 1 черный шар;

В₃ - из первой урны вынуты 2 черных шара;

С₁ - из второй урны вынуты 2 белых шара;

С₂ - из второй урны вынуты 1 белый и 1 черный шар;

С₃ - из второй урны вынуты 2 черных шара.

Значит, А₁ = , откуда, учитывая независимость и несовместимость событий, получаем

Р(А₁ ) = Р(В₁ ) * Р(С₁ ) + Р(В₃ ) * Р(С₃ ).

Найдем количество элементарных событий n₁ и n₂ для первой и второй урн соответственно. Имеем:

Найдем количество каждого элемента событий, определяющих следующие события:

В₁ : m₁₁ = C₁ : m₂₁ =

B₂ : m₁₂ =C₂ : m₂₂ =

B₃ : m₁₃ =C₃ : m₂₃ =

Следовательно,

Р(А₁ ) = 10/66 * 15/45 + 21 * 6/45 = 5/99 + 7/165 = 46/495.

б) А₂ - среди извлеченных шаров только 3 белых. В этом случае

А₂ = (В₁ С₂ (В₂ С₁ );

Р(А₂ ) = Р(В₁ ) * Р(С₁ ) + Р(В₂ ) * Р(С₂ )

Р(А₂ )

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать