Системи випадкових величин

СИСТЕМИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

(реферат)

Вступ

N -вимірний вектор (t-індекс транспонування) називається випадковим, якщо його координати є випадковими величинами. Вектор називають дискретним , якщо його координати - дискретні випадкові величини, неперервним ,якщо його компоненти - неперервні випадкові величини і змішаним , якщо частина його компонент – дискретні випадкові величини, а інша частина – неперервні випадкові величини. Випадкові N -вимірні вектори називають ще системою N випадкових величин або багатовимірними випадковими величинами. В подальшому розглядаються двовимірні випадкові вектори (системи двох випадкових величин), які позначаються .

1. Розподіли системи двох випадкових величин

Система двох дискретних випадкових величин однозначно визначається сумісним розподілом ймовірностей, який можна задати матрицею

y₁ y₂ … y_m

, (1.1)

().

Стовпчики матриці відповідають значенням випадкової величини Y , а рядки – значенням випадкової величини X . Події утворюють повну групу подій, тому сума елементів матриці дорівнює 1 :

.

Розподіли

,

називають розподілами компонент системи двох випадкових величин . Події ,,..., є несумісними, тому за теоремою додавання ймовірностей несумісних подій сума елементів і -рядка матриці дорівнює ймовірності значення :

.(1.1а)

Аналогічно, сума елементів j -стовпчика дорівнює ймовірності значення :

.(1.1b)

Приклад 1.1. Система двох випадкових величин задана сумісним розподілом

y₁ y₂

Знайти розподіли компонент системи випадкових величин.

Розв’язування . За формулами (1.1а) та (1.1b)

;

;

;

; .

Отже, розподіли компонент

.

Будь-який двовимірний випадковий вектор (неперервний чи дискретний) однозначно визначається інтегральною функцією сумісного розподілу

, (1.2)

яка визначає ймовірність того, що випадкова величина X приймає значення менше ніж x , а - менше ніж y . Геометрична інтерпретація інтегральної функції сумісного розподілу полягає в тому, що вона визначає ймовірність попадання випадкової точки у нескінченний заштрихований квадрат із вершиною в точці (рис 1.1).

Інтегральна функція розподілу випадкового вектора має такі очевидні властивості.

Властивість 1 .

.

Властивість 2 .Функція неспадна по кожному аргументу

, якщо ;

, якщо .

Властивість 3 .Мають місце граничні співвідношення

, , , .

Властивість Для функція мають місце ще і такі граничні співвідношення

,

,

- інтегральна функція розподілу компоненти X випадкового вектора .

- інтегральна функції розподілу компоненти Y випадкового вектора .

З використанням функції розподілу (1.2) легко можна обчислити ймовірність попадання випадкової точки у напівсмугу та (рис 1.2)

, (1.3а)

.(1.3б)

Імовірність попадання випадкової точки у напівсмугу дорівнює приросту інтегральної функції сумісного розподілу по відповідному аргументу.

Доведення. Імовірність попадання у напівсмугу дорівнює різниці ймовірності попадання точки у нескінченний квадрат з вершиною ()і ймовірності попадання точки у нескінченний квадрат з вершиною (. Звідси і слідує рівність (1.3а)

Імовірність попадання випадкової точки у прямокутник утворений прямими

(рис.1.3) обчислюється за формулою

(1.4)

Доведення. Імовірність попадання у прямокутник дорівнює різниці ймовірності попадання точки у напівсмугу ()і ймовірності попадання у напівсмугу (). Звідси і слідує рівність (1.3а)

Приклад 1.2. Знайти ймовірність пападання випадкової точки у прямокутник обмеженний прямими , , , , якщо відома інтегральна функція сумісного розподілу

Розв’язування . За формулою (1.4) в якій , , ,

Система двох неперервних випадкових величин однозначно визначається густиною сумісного розподілу ймовірностей

. (1.5)

Приклад 1.3. Знайти густину сумісного розподілу системи випадкових величин, якщо відома інтегральна функція сумісного розподілу

Розв’язування . За формулою (1.5)

Інтегральна функція сумісного розподілу неспадна по кожному аргументу і тому

.

За відомою густиною сумісного розподілу інтегральну функцію сумісного розподілу можна визначити за формулою

(1.6)

Приклад 1. Знайти інтегральну функцію сумісного розподілу системи випадкових величин, якщо відома густина сумісного розподілу

.

Розв’язування . За формулою (1.6)

.

Враховуючи , що (властивість 3), для густини сумісного розподілу можна записати рівність нормування

.

Ймовірність попадання випадкової точки у довільну область (рис.1.3) обчислюється за формулою

,(1.7)

яка одразу слідує з означення подвійного інтеграла

Приклад 1.5. Система випадкових величин задана густиною сумісного розподілу

.

Знайти йм

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать