Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Лабораторная работа 1

Численные методы решения

обыкновенных дифференциальных уравнений (4 часа)

При решении многих физических и геометрических задач приходится искать неизвестную функцию по данному соотношению между неизвестной функцией, ее производными и независимыми переменными. Такое соотношение называется дифференциальным уравнением , а отыскание функции, удовлетворяющей дифференциальному уравнению, называется решением дифференциального уравнения.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется равенство

, (1)

в котором - независимая переменная, изменяющаяся в некотором отрезке , а - неизвестная функция y ( x ) и ее первые n производные.

Число называется порядком уравнения .

Задача заключается в нахождении функции y, удовлетворяющей равенству (1). Более того, не оговаривая это отдельно, будем предполагать, что искомое решение обладает той или иной степенью гладкости, необходимой для построения и «законного» применения того или иного метода.

Различают два типа обыкновенных дифференциальных уравнений

- уравнения без начальных условий

- уравнения с начальными условиями.

Уравнения без начальных условий - это уравнение вида (1).

Уравнение с начальными условиями - это уравнение вида (1), в котором требуется найти такую функцию , которая при некотором удовлетворяет следующим условиям:

,

т.е. в точке функция и ее первые производных принимают наперед заданные значения.

Задачи Коши

При изучении способов решения дифференциальных уравнений приближенными методами основной задачей считается задача Коши.

Рассмотрим наиболее популярный метод решения задачи Коши – метод Рунге-Кутта. Этот метод позволяет строить формулы расчета приближенного решения практически любого порядка точности.

Выведем формулы метода Рунге-Кутта второго порядка точности. Для этого решение представим куском ряда Тейлора, отбрасывая члены с порядком выше второго. Тогда приближенное значение искомой функции в точке x ₁ можно записать в виде:

(2)

Вторую производную y "( x ₀ ) можно выразить через производную функции f ( x , y ) , однако в методе Рунге-Кутта вместо производной используют разность

соответственно подбирая значения параметров

Тогда (2) можно переписать в виде:

y ₁ = y ₀ + h [ β f ( x ₀ , y ₀ ) + α f ( x ₀ + γh , y ₀ + δh )], (3)

где α , β , γ и δ – некоторые параметры.

Рассматривая правую часть (3) как функцию аргумента h , разложим ее по степеням h :

y ₁ = y ₀ +( α + β ) h f ( x ₀ , y ₀ ) + αh ² [ γ f_x ( x ₀ , y ₀ ) + δ f_y ( x ₀ , y ₀ )],

и выберем параметры α , β , γ и δ так, чтобы это разложение было близко к (2). Отсюда следует, что

α + β =1, αγ =0,5, α δ =0,5 f ( x ₀ , y ₀ ).

С помощью этих уравнений выразим β , γ и δ через параметры α , получим

y ₁ = y ₀ + h [(1 - α ) f ( x ₀ , y ₀ ) + α f ( x ₀ +, y ₀ + f ( x ₀ , y ₀ )], (4)

0 < α ≤ 1.

Теперь, если вместо (x ₀ , y ₀ ) в (4) подставить (x ₁ , y ₁ ), получим формулу для вычисления y ₂ – приближенного значения искомой функции в точке x ₂ .

В общем с

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать