Введение в математический анализ 2

Введение в математический анализ.

Числовая последовательность.

Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n , то говорят, что задана последовательность

x_1, х₂ , …, х_n = {x_n }

Общий элемент последовательности является функцией от n.

x_n = f(n)

Таким образом последовательность может рассматриваться как функция порядкового номера элемента.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Пример. {x_n } = {(-1)ⁿ } или {x_n } = -1; 1; -1; 1; …

{x_n } = {sinpn/2} или {x_n } = 1; 0; 1; 0; …

Для последовательностей можно определить следующие операции :

1) Умножение последовательности на число m: m{x_n } = {mx_n }, т.е. mx₁ , mx₂ , …

2) Сложение (вычитание) последовательностей: {x_n } ± {y_n } = {x_n ±y_n }.

3) Произведение последовательностей: {x_n }×{y_n } = {x_n ×y_n }.

4) Частное последовательностей: при {y_n } ¹ 0.

Ограниченные и неограниченные последовательности.

Определение. Последовательность {x_n } называется ограниченной , если существует такое число М>0, что для любого n верно неравенство:

т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку (-М; M).

Определение. Последовательность {x_n }называется ограниченной сверху , если для любого n существует такое число М, что

x_n £M.

Определение. Последовательность {x_n }называется ограниченной снизу , если для любого n существует такое число М, что

x_n ³M

Пример. {x_n } = n – ограничена снизу {1, 2, 3, … }.

Определение. Число а называется пределом последовательности {x_n }, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > Nвыполняется условие:

Это записывается: limx_n = a.

В этом случае говорят, что последовательность {x_n }сходится к а при n®¥.

Свойство: Если отбросить какое- либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

Пример. Доказать, что предел последовательности lim.

Пусть при n > Nверно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за Nвзять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.

Пример. Показать, что при n®¥последовательность 3, имеет пределом число 2.

Итого: {x_n }= 2 + 1/n; 1/n = x_n – 2

Очевидно, что существует такое число n, что , т.е. lim {x_n } = 2.

Теорема. Последовательность не может иметь более одного предела.

Доказательство. Предположим, что последовательность {x_n }имеет два предела aи b, не равные друг другу.

x_n ®a; x_n ®b; a¹b.

Тогда по определению существует такое число e >0, что

Запишем выражение:

А т.к. e- любое число, то , т.е. a = b. Теорема доказана.

Теорема. Если x_n ® a , то .

Доказательство. Из x_n ® a следует, что . В то же время:

, т.е. , т.е. . Теорема доказана.

Теорема. Если x_n ® a , то последовательность { x_n } ограничена.

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

Например, последовательностьне имеет предела, хотя

Монотонные последовательности.

Определение. 1) Если x_{n +1} > x_n для всех n, то последовательность возрастающая.

2) Если x_{n +1} ³x_n для всех n, то последовательность неубывающая.

3) Если x_{n +1} < x_n для всех n, то последовательность убывающая.

4)Если x_{n +1} £x_n для всех n, то последовательность невозрастающая

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными .

Пример. {x_n } = 1/n – убывающая и ограниченная

{x_n } = n – возрастающая и неограниченная.

Пример. Доказать, что последовательность {x_n }=монотонная возрастающая.

Найдем член последовательности {x_{n +1} }=

Найдем знак разности: {x_n }-{x_{n +1} }=

, т.к. nÎN, т

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать