Интегралы Дифференциальные уравнения

Интегралы

Основные вопросы лекции: первообразная; неопределенный интеграл, его свойства; таблица интегралов; методы интегрирования: разложение, замена переменной, по частям; интегрирование рациональных функций; интегрирование иррациональностей и выражений, содержащих тригонометрические функции, задачи, приводящие к понятию определенного интеграла; интегральная сумма; понятие определенного интеграла, его свойства; определенный интеграл как функция верхнего предела; формула Ньютона Лейбница; применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур; вычисление объемов тел и длин дуг кривых; несобственные интегралы с бесконечными пределами и от неограниченных функций, основные понятия дифференциальных уравнений; задача Коши; дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными; однородные дифференциальные уравнения 1-го порядка; линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка, дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка; линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами: однородные и неоднородные.

Функция называется первообразной для функции на промежутке , если в любой точке этого промежутка .

Теорема. Если и – первообразные для функции на некотором промежутке , то найдется такое число , что будет справедливо равенство

= + .

Множество всех первообразных для функции на промежутке называется неопределенным интегралом от функции и обозначается . Таким образом,

= + .

Свойства неопределенного интеграла

1. Производная от неопределенного интеграла равна подынтегральной функции, то есть

.

2. Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, то есть

3. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого, то есть

,

где – произвольное число.

4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть

5. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, то есть

.

Метод замены переменной

,

где – функция, дифференцируемая на рассматриваемом промежутке.

Метод интегрирования по частям

,

где и – дифференцируемые функции.

Интегрирование рациональных дробей. Простейшими дробями называют дроби вида

и ,

причем квадратный трехчлен не имеет действительных корней.

Рациональную функцию можно разложить в сумму простейших дробей, причем в знаменателе этих дробей могут быть и степени от выражения стоящего в знаменателе.

Для интегралов вида делают замену , а для интегралов в общем случае используются подстановки Эйлера.

При интегрировании тригонометрических выражений в общем случае используется замена переменной , где .

Талица основных интегралов.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

Пусть на отрезке задана функция . Разобьем отрезок наэлементарных отрезков точками . На каждом отрезке разбиения выберем некоторую точку и положим , где . Сумму вида

(1)

будем называть интегральной суммой для функции .на . Для избранного разбиения отрезка на части обозначим через максимальную из длин отрезков , где .

Пусть предел интегральной суммы при стремлении к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек и точек . Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции на, обозначается , а сама функция называется интегрируемой на отрезке , то есть

= .

Экономический смысл интеграла. Если – производительность труда в момент времени , то есть объем выпускаемой продукции за промежуток . Величина и объем продукции, произведенной за промежуток времени , численно равна площади под графиком функции , описывающей изменение производительности труда с течением времени, на промежутке или .

Достаточное условие существования интеграла. Теорема. Если непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.

Свойства определенного интеграла.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть

,

где – некоторое число.

2. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен такой же сумме интегралов от этих функций, то есть

.

3. Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов для каждой из возникших частей, то есть при любых

4. Если на отрезке , где , , то и

.

Следствие. Пусть на отрезке , где , , где и – некоторые числа. Тогда

.

Теорема о среднем. Если функция непрерывна на отрезке , где , то найдется такое значение , что

.

Теорема. Пусть функция непрерывна на отрезке и – любая первообразная для на . Тогда определенный интеграл от функции на равен приращению первообразной на на этом отрезке, то есть

Эта формула называется формулой Ньютона – Лейбница.

Теорема. Пусть функция имеет непрерывную производную на отрезке , и функция непрерывна в каждой точке вида , где .

Тогда имеет место равенство

=.

Эта формула носит название формулы замены переменной в определенном интеграле.

Теорема. Пусть функции и имеют непрерывные пр

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать