Уравнение Кортевега - де Фриса, солитон, уединенная волна

Содержание

1. Введение

1.1. Волны в природе

Из школьного курса физики [1] хорошо извест­но, что если в какой-либо точке упругой среды (твердой, жидкой или газообразной) возбудить ко­лебания, то они будут передаваться в другие места. Эта передача возбуждений обусловлена тем, что близкие участки среды связаны друг с другом. При этом колебания, возбужденные в одном месте, рас­пространяются в пространстве с определенной ско­ростью. Волной принято называть процесс передачи возбуждений среды (в частности, колебательного процесса) от одной точки к другой.

Природа механизма распространения волны может быть различной. В простейшем случае связи между участками в среде могут быть обусловлены силами упругости, которые возникают из-за дефор­маций в среде. При этом в твердой упругой среде могут распространяться как продольные волны, при которых смещения частиц среды осуществля­ются в направлении распространения волны, так и поперечные волны, у которых смещения частиц перпендикулярны распространению волны. В жид­кости или газе в отличие от твердых тел нет сил со­противления сдвигу, поэтому могут распространять­ся только продольные волны. Хорошо известный пример продольных волн в природе — звуковые вол­ны, которые возникают из-за упругости воздуха.

Среди волн иной природы особое место занима­ют электромагнитные волны, передача возбужде­ний у которых происходит из-за колебаний элект­рического и магнитного полей. Среда, в которой распространяются электромагнитные волны, как правило, оказывает существенное влияние на про­цесс распространения волн, однако электромагнит­ные волны в отличие от упругих могут распростра­няться даже в пустоте. Связь между различными участками в пространстве при распространении та­ких волн обусловлена тем, что изменение электри­ческого поля вызывает появление магнитного поля и наоборот.

С явлениями распространения электромагнит­ных волн мы часто сталкиваемся в нашей повседнев­ной жизни. К этим явлениям относятся радиоволны, применение которых в технических приложениях общеизвестно. В этой связи можно упомянуть рабо­ту радио и телевидения, которая основана на прие­ме радиоволн. К электромагнитным явлениям, только в другом частотном диапазоне, относится также свет, с помощью которого мы видим окружа­ющие нас предметы.

Очень важным и интересным типом волн яв­ляются волны на поверхности воды. Это один из распространенных видов волн, который каждый наблюдал еще в детстве и который обычно демон­стрируется в рамках школьного курса физики. Од­нако, по выражению Ричарда Фейнмана [2], "более неудачного примера для демонстрации волн приду­мать трудно, ибо эти волны нисколько не похожи ни на звук, ни на свет; здесь собрались все труднос­ти, которые могут быть в волнах".

Если рассмотреть достаточно глубокий бассейн, наполненный водой, и на его поверхности создать некоторое возмущение, то по поверхности воды начнут распространяться волны. Возникновение их объясняется тем, что частицы жидкости, которые находятся вблизи впадины, при создании возмуще­ния будут стремиться заполнить впадину, находясь под действием силы тяжести. Развитие этого явле­ния со временем и приведет к распространению волны на воде. Частицы жидкости в такой волне двигаются не вверх-вниз, а приблизительно по ок­ружностям, поэтому волны на воде не являются ни продольными, ни поперечными. Они как бы смесь тех и других. С глубиной радиусы окружностей, по которым двигаются частицы жидкости, уменьша­ются до тех пор, пока они не станут равными нулю.

Если анализировать скорость распространения волны на воде, то оказывается, что она зависит от ее длины. Скорость длинных волн пропорциональна корню квадратному из ускорения свободного паде­ния, умноженному на длину волны. Причиной воз­никновения таких волн является сила тяжести.

Для коротких волн восстанавливающая сила обусловлена силой поверхностного натяжения, и потому скорость таких волн пропорциональна кор­ню квадратному из частного, в числителе которого стоит коэффициент поверхностного натяжения, а в знаменателе — произведение длины волны на плот­ность воды. Для волн средней длины волны ско­рость и