Поле комплексных чисел

Вопросы поля комплексных чисел, описывается построение поля комплексных чисел, приводятся алгебраическая форма записи комплексных чисел, определение комплексного числа, действия над комплексными числами.

п.1. Построение поля комплексных чисел.

Рассмотрим множество . Определим на бинарные операции сложения , умножения , унарную операцию и определим элементы .

Для :

;

;

.

Обозначим: .

Теорема 1. Алгебра является полем.

Доказательство. Проверим, что алгебра есть абелева группа.

Для

.

Для

.

Для

.

Для

(.

Проверим, что операция - ассоциативна, то есть

.

Действительно,

.

Проверим левый закон дистрибутивности, то есть для

.

Действительно,

,

.

Аналогично проверяется справедливость правого закона дистрибутивности.

Из выше доказанного следует, что алгебра есть кольцо.

Проверим, что кольцо коммутативно, то есть для .

Действительно,

.

Проверим, что - кольцо с единицей 1, то есть

.

Действительно,

.

Так как , то .

Докажем, что каждый ненулевой элемент кольца обратим. Пусть , что равносильно . Рассмотрим пару и проверим, что эта пара является обратной к паре . Действительно,

.

Из выше доказанного следует, что алгебра - поле.

Определение. Поле называется полем комплексных чисел, а его элементы - комплексными числами.

п.2. Алгебраическая форма записи комплексных чисел.

Обозначение. Множество комплексных чисел принято обозначать , то есть . Приняты также следующие обозначения:

для .

Теорема 2. Каждое комплексное число может быть, и притом единственным образом, записано в виде:

, где . (Такая запись называется алгебраической формой записи комплексного числа ).

Доказательство. Существуют такие, что . Имеем

.

Теорема 3. Число обладает свойством: .

Доказательство. .

Из равенства следует, что .

Определение. Пусть , где . Число называется действительной частью, - мнимой частью комплексного числа . Пишем .

Пусть - алгебраическая форма записи комплексного числа . Тогда:

если , то ;

если , то .

Определение. Если , то комплексное число называют чисто мнимым числом.

Действия над комплексными числами в алгебраической форме

1) Для

.

Другими словами: комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда у него действительная и мнимая части равны нулю.

Доказательство. .

2) Для

.

Другими словами: два комплексных числа равны тогда и только тогда, когда у них, соответственно, равны действительная и мнимая части.

Доказательство. .

3) Для

.

Другими словами: чтобы сложить два комплексных числа, нужно, соответственно, сложить их действительные и мнимые части.

Доказательство.

.

4) Для

.

Доказательство.

.

5) Для

.

Доказательство. .

6) Для , если , то

.

Доказательство.

.

п.3. Операция сопряжения.

Определение. Пусть комплексное число записано в алгебраической форме . Числом сопряжённым с называется число .

Свойства операции сопряжения

Для , где , , .

1).

Доказательство.

.

2) .

Доказательство. .

3) .

Доказательство.

.

.

4) Если a¹ 0, то .

Доказательство. .

5) .

Доказательство. .

6) .

Доказательство. .

С помощью операции сопряжения удобно производить деление комплексных чисел. Чтобы записать в алгебраической форме дробь с комплексными числителем и знаменателем нужно умножить числитель и знаменатель дроби на число, сопряжённое со знаменателем, и вычислить произведения в числителе и знаменателе.

п.4. Модуль комплексного числа.

Пусть записано в алгебраической форме .

Определение. Модулем комплексного числа называется неотрицательное действительное число .

Свойства модуля.

Для , где , , .

1) .

Доказательство.

.

2) .

3) .

Доказательство. Свойство следует из свойства 6 операции сопряжения.

4) .

Доказательство. .

Отсюда следует нужное утверждение.

5) Если , то .

Доказательство. .

6) Неравенство треугольника: .

Доказательство. Докажем сначала неравенство

.

Имеем

(2) ,

так как

.

Из (2) следует, что

.

Из последнего неравенства следует неравенство (1).

Докажем теперь неравенство треугольника. Неравенство треугольника, очевидно, выполнено для . Докажем неравенство треугольника для . Имеем

.

7) .

Доказательство. . Отсюда следует нужное неравенство.

8) .

Доказательство. Справедливы неравенства

, .

Одно из подчёркнутых чисел совпадает с .

п.5. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Пусть записано в алгебраической форме . Поставим в соответствие числу точку плоскости с коорд

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать