Кольца и полукольца частных

Содержание

Введение

Глава 1.Построение классического полукольца частных

Глава 2.Построение полного полукольца частных

Глава 3.Связь между полным и классическим полукольцами частных

Библиографический список

Введение

В настоящее время теория полуколец активно развивается и находит своё применение в теории автоматов, компьютерной алгебре и других разделах математики.

В работе построены полное и классическое полукольца частных, а так же рассмотрена их связь.

Прежде чем начать рассмотрение этих структур, определим коммутативное полукольцо частных следующим образом.

Непустое множество с определёнными на нём бинарными операциями и называется коммутативным полукольцом, если выполняется следующие аксиомы:

A1. - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом , т.е.

1) ;

2)

3)

А2. - коммутативная полугруппа с нейтральным элементом 1, т.е.

1) ;

2)

3)

А3. умножение дистрибутивно относительно сложения:

, .

А4. .

Таким образом, можно сказать, что полукольцо отличается от кольца тем, что аддитивная операция в нём необратима.

Глава 1.

Для построения классического полукольца частных можно воспользоваться следующим методом:

Рассмотрим пары неотрицательных целых чисел .

Будем считать пары и эквивалентными, если , получим разбиение множества пар на классы эквивалентности.

Затем введём операции на классах, превращающие множество классов эквивалентных пар в полуполе, которое содержит полукольцо неотрицательных чисел.

Определение₁ . Элемент назовём мультипликативно сокращаемым, если для из равенства следует, что .

Обозначим через множество всех мультипликативно сокращаемых элементов.

Утверждение₁ . Мультипликативно сокращаемый элемент является неделителем нуля.

Пусть - делитель нуля, т.е. для некоторого . Тогда , но не является мультипликативно сокращаемым.▲

Пусть - коммутативное полукольцо с возможностью сокращения на элементы из . Рассмотрим множество упорядоченных пар . Введём отношение ~ на : для всех и .

Предложение₁ Отношение ~ является отношением эквивалентности на .

Покажем, что ~ является отношением рефлективности, симметричности и транзитивности.

1.Рефлективность: в силу коммутативности полукольца ;

2. Симметричность: ;

3.Транзитивность: Таким образом, отношение ~ является отношением эквивалентности на .

Полукольцо разбивается на классы эквивалентности; в каждом классе находятся те элементы, которые находятся в отношении ~. Обозначим класс эквивалентности пары . Введём операции на множестве всех классов эквивалентности:

т.к. для , , выполнено отсюда т.к. получаем и поскольку то следовательно .

Покажем корректность введённых операций:

Пусть , , тогда

▲

Теорема₁ . - коммутативное полукольцо с 1. .

Доказательство.

Чтобы доказать, что множество всех классов эквивалентности является коммутативным полукольцом с 1, нужно показать замкнутость на нём операций:

сложение: для и

1.

2.

Так как правые части равны, то левые части тоже равны:

3. покажем, что для .

Так как

Класс является нейтральным по +:

Из равенства тогда .

Для составляет отдельный класс, играющий в роль нуля.

умножение: для и

1.

2.

Из равенства правых частей следует, что

3. покажем, что для .

Пусть

Класс является нейтральным по умножению (единицей полукольца), т.к. , поскольку из равенства тогда .

4. умножение дистрибутивно относительно сложения:

Следовательно, правосторонний дистрибутивный закон выполняется:

Аналогично доказывается левосторонний закон дистрибутивности.

Таким образом, доказано, что является коммутативным полукольцом с 1.

Полукольцо называется классическим полукольцом частных полукольца .▲

Глава 2

Для построения полного полукольца частных можно воспользоваться следующим методом. Рассмотрим дробь как частичный эндоморфизм аддитивной полугруппы неотрицательных целых чисел. Его область определения – идеал , и он переводит в , где . Аналогично, дробь определена на идеале и переводит в . Эти две дроби эквивалентны, т.е. они согласованы на пересечении своих областей определений, равном идеалу , поскольку та и другая дробь переводят в . Отношения определяются как классы эквивалентных дробей. Варьируя этот метод, можно выбрать в каждом классе эквивалентности одну «несократимую» дробь. Рассмотренный выше класс содержит несократимую дробь .

Данный метод можно применить к произвольному коммутативному полукольцу для построения «полного полукольца частных», где в качестве областей определения допускаются лишь идеалы определённого типа – плотные идеалы.

Определение₂ . Идеал коммутативного полукольца называется плотным, если для и выполняется равенство тогда и только тогда, когда .

Свойства плотных идеалов полукольца :

1⁰ - плотный идеал.

Доказательство:

Пусть для выпо

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать