Построение полуполевых плоскостей

Введение

Проективная геометрия исторически возникла в рамках линейной перспективы, которую применяли строители еще в древности (их знания были систематизированы Евклидом в его трактате «Оптика»). Затем, уже в эпоху Возрождения, к ней обратились живописцы, пытавшиеся создавать иллюзию пространства, то есть изображать на плоскости объемные предметы так, как их видит глаз человека.

В проективной геометрии не различают параллельные и пересекающиеся прямые — считают, что параллельные тоже пересекаются, но в бесконечно удаленной, «несобственной» точке; все такие точки, отвечающие разным направлениям прямых на плоскости, образуют несобственную прямую, которую присоединяют к плоскости. Значит, плоскость дополняется несобственной прямой, а трехмерное пространство — плоскостью.

Как и другие геометрии, проективная абсолютно строго задается системой аксиом. В ней фигурируют два типа объектов, называемые «точками» и «прямыми». Важно, что эти аксиомы устанавливают только отношения между объектами, поэтому для них возможны различные интерпретации. В частности, их можно (но совсем необязательно) считать обычными евклидовыми точками и прямыми.

Проективную геометрию можно описывать аналитически и изучать средствами алгебры. При этом вводят так называемые «однородные координаты», которых всегда на одну больше, — именно в них наиболее просто выражаются закономерности этой геометрии. Это не единственный способ координатизации.

Рассмотрим проективную плоскость как аксиоматически заданную инцидентностную структуру, образованную объектами двух видов (точки и прямые). Если количество объектов конечно, то на плоскости можно ввести координаты с использованием элементов некоторого конечного множества. Отношение инцидентности между точками и прямыми позволяет определить на координатизирующем множестве тернарную операцию, а на основе тернара – операции сложения и умножения. Оказывается, геометрические свойства проективной плоскости тесно связаны с алгебраическими свойствами координатизирующего множества, что позволяет классифицировать и исследовать проективные плоскости алгебраическими методами.

Один из интересных классов проективных плоскостей – полуполевые плоскости. Множество, координатизирующее конечную полуполевую плоскость, наиболее близко к полю, координатизирующему классическую, или дезаргову, проективную плоскость.

Известен метод построения полуполевых плоскостей как плоскостей трансляций: на основе векторного пространства и некоторого семейства линейных преобразований, называемого регулярным множеством (spread set).

Наиболее простыми для построения и исследования являются плоскости трансляций ранга 2, регулярное множество которых может быть представлено 22-матрицами. Регулярное множество полуполевой плоскости замкнуто по сложению, что упрощает его построение.

Целью работы является построение всех неизоморфных полуполевых плоскостей ранга 2 над полем GF(4) и их исследование.

Первоначально список построенных полуполевых плоскостей порядка 16 содержал 56 объектов, из которого далее были исключены все изоморфные копии.

Изоморфизм полуполевых плоскостей задается полулинейным отображением векторных пространств такого вида: , где σ – автоморфизм поля, А – невырожденная матрица. Так как построен полный набор полуполевых плоскостей данного порядка и ранга, то достаточно рассматривать изоморфизмы вида или .

На следующем этапе было показано, что изоморфизм позволяет разбить построенные плоскости на 31 подкласс. Окончательно, было рассмотрено отображение вида и получено всего 2 неизоморфных полуполевых плоскости порядка 16.

Для каждой из построенных плоскостей была составлена полная система взаимно ортогональных латинских квадратов.

С использованием матричного представления регулярного множества полуполевых плоскостей порядка 16 построены полярности каждой плоскости (анти-автоморфизмы порядка 2). Каждая полярность задана при помощи аддитивного преобразования координатизирующего полуполя. Доказаны некоторые результаты, позволяющие алгоритмизировать процесс поиска таких преобразований. Каждой полярности поставлено в соответствие множество ее абсолютных точек. Дана классификация полученных множеств и соответствующих им полярностей.

1. Основные определения и вспомогательные результаты

В данной главе приведены основные определения, используемые в работе, а также некоторые известные факты из теории проективных плоскостей.

1.1. Основные понятия и определения

Определение 1.1. Проективной плоскостью назовем структуру , состоящую из двух непустых множеств (множества точек Р и множества прямых L ) c отношением инцидентности I между ними таким, что выполняются 3 аксиомы:

1) любые две различные прямые l и m инцидентны единственной точке;

2) любые две различные точки A иB инцидентны единственной прямой;

3) найдутся такие четыре точки, что никакие 3 из них не лежат на одной прямой.

Определение 1.2. Порядком проективной плоскости называется такое число n , что:

1) плоскость содержит точку, столько же прямых;

2) каждая прямая инцидентна с точками;

3) каждая точка инцидентна с прямыми.

Определение 1.3. Изоморфизмом проективной плоскости на проективную плоскость называется взаимно

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать