Шпора 2 по мат анализу

1.Метрические, линейные, нормированные пространства.

2.Понятие функции m переменных. Предел функции m переменных.

Понятие:

Пусть даны множества D R ⁿ и I R .

Определение 1. Если каждой точке множества D ставится в соответствие единственное число у из I , то говорят, что задана функция n переменных у= f (x ₁ , …, x _n ). Множество D называется областью определения функции D (у)= D , множество I называется множеством значений функции I (у)= I .

Если зафиксировать любые n -1 переменные, то функция многих переменных превращается в функцию одной переменной. x ₂ =с ₂ , x ₃ =с ₃ , …, х _n =c _n ; y = f (x ₁ , c ₂ , …, c _n ) - функция одной переменной х ₁ .

Пример. - функция двух переменных,

- функция трех переменных.

Пусть имеется n +1 переменная x ₁ , x ₂ , ..., x _n , y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x ₁ , x ₂ , ..., x_n соответствует единственное значение переменной y . Тогда говорят, что задана функция f от n переменных . Число y, поставленное в соответствие набору x ₁ , x ₂ , ..., x_n называется значением функции f в точке (x ₁ , x ₂ , ..., x_n ), что записывается в виде формулы y = f (x ₁ ,x ₂ , ..., x_n ) или y =y (x ₁ ,x ₂ , ..., x_n ).

Переменные x ₁ , x ₂ , ..., x_n являются аргументами этой функции, а переменная y ‑ функцией от n переменных.

3.Непрерывность функции m переменных. Непрерывность функции m переменных по одной из переменных.

4.Непрерывность сложной функции.

Пусть функция j(t) непрерывна в точке t₀ и функция f(x) непрерывна в точке х₀ =j(t₀ ). Тогда функция f(j(t)) непрерывна в точке t₀ .

Доказательство.

Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем

Выписывая подчеркнутые кванторы, получим, что

,

что и говорит о том, что f(j(t)) непрерывна в точке t₀ . <

Обратите внимание на следующие детали:

а) т.к. x=j(t), то |j(t)-j(t₀ )|<d может быть записано как |x-x₀ |<d, и f(x) превращается в F(j(t));

б) при определении непрерывности j(t) в точке t₀ в первом кванторе стоит буква d. Это необходимо для согласования с квантором в предыдущей строке и взаимного уничтожения . Любая другая буква на этом месте не дала бы верного результата.

5.Частные производные функции m переменных.

6.Дифференцируемость функции m переменных.

7.Дифференциал функции m переменных.

8.Дифференцирование сложной функции.

9.Производная по направлению. Градиент.

Производная по направлению. Если в n-мерном пространстве задан единичный вектор , то изменение дифференцируемой функции в направлении этого вектора характеризуется производной по направлению: . В частности, для функции трех переменных , - направляющие косинусы вектора .

Градиент. Производная по направлению представляет собой скалярное произведение вектора и вектора с координатами , который называется градиентом функции и обозначается . Поскольку , где - угол между и , то вектор указывает направление скорейшего возрастания функции , а его модуль равен производной по этому направлению.

10.Квадратичные формы. Критерии Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.

Скалярная функция векторного аргумента, которая представляет собой однородный многочлен второго порядка, называется квадратичной формой.

R .

(критерий Сильвестра). Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все левые верхние угловые миноры матрицы А являются положительными, т.е.

,

,

,

11.Локальный экстремум функции m переменных. Необходимое условие локального экстремума.

12.Достаточные условия локального экстремума.

1. предположим, что в некоторой окрестности точки х₀ существует f '(х)