Шар и сфера

Оглавление:

1. Вступление…………………………………………………………………………………..2

2. Шар и сфера…………………………………………………………………………………3

   1. Шар и шаровая поверхность……………………………………………………...3

   2. Взаимное расположение шара и плоскости……………………………………..3

   3. Принцип Кавальери. Нахождение объёмов тел с помощью принципа Кавальери…………………………………………………………………………..6

   4. Интегральное исчисление. Понятие интеграла…………………………………9

   5. Вычисление объёмов тел с помощью интеграла………………………………10

   6. Объём шара………………………………………………………………………12

   7. Шаровой сегмент. Объём шарового сегмента…………………………………12

   8. Шаровой слой. Объём шарового слоя…………………………………………14

   9. Шаровой сектор. Объём шарового сектора……………………………………14

   10. Площадь поверхности шара…………………………………………………17

   11. Площадь поверхности сектора шара……………………………………….18

   12. Площадь поверхности шарового пояса…………………………………….18

3.Задачи………………………………………………………………………………………20

3.1 Задачи на поверхности…………………………………………………………..20

3.2 Задачи на объёмы тел……………………………………………………………23

4.Заключение…………………………………………………………………………………25

5.Литература………………………………………………………………………………....26

2. Шар и сфера.

2.1. Шар и шаровая поверхность.

Шаровой или сферической поверхностью называется геометрическое место точек пространст­ва, удаленных от данной точки О (центра) на заданное расстоя­ние R(радиус). Все пространство по отношению к данной ша­ровой поверхности разбивается на внут­реннюю область (куда можно присоеди­нить и точки самой поверхности) и внешнюю. Первая из этих областей назы­вается шаром. Итак, шар — геометрическое место всех точек, удаленных от заданной точки О (центра) на расстоя­ние, не превышающее данной величины R(радиуса). Шаровая поверхность яв­ляется границей, отделяющей шар от ок­ружающего пространства.

Шаровую поверхность и шар можно получить также, вращая окружность (круг) вокруг одного из диаметров.

Рассмотрим окружность с центром О и радиусом R(рис. 1), лежащую в плоско­сти Я. Будем вращать ее вокруг диаметра АВ. Тогда каждая из точек окружности, например М, в свою оче­редь опишет при вращении окружность, имеющую своим центром точку М₀—проекцию вращающейся точки М на ось враще­ния АВ. Плоскость этой окружности перпендикулярна к оси вращения. Радиус ОМ, ведущий из центра исходной окружности в точку М, будет сохранять свою величину во все время вра­щения, и потому точка М все время будет находиться на сфе­рической поверхности с центром О и радиусом R. Шаровая поверхность может быть получена вращением окружности вокруг любого из ее диаметров.

Сам шар как тело получается вращением круга; ясно, что для получения всего шара достаточно вращать полукруг около ограничивающего его диаметра.

2.2. Взаимное расположение шара и плоскости.

Исследуем вопрос о взаимном расположении шара и плоско­сти. Для этого, имея некоторый шар и плоскость , опустим из центра шара перпендикуляр на плоскость. Если основание этого перпендикуляра М₀окажется вне шара (рис. 2), то остальные точки плоскости и подавно будут лежать вне шара, так как они еще больше удалены от центра, чем основание перпендикуляра. В этом случае плоскость не имеет общих точек с шаром, она его не пересекает. Если основание перпендикуляра окажется на шаровой поверхности (рис. 3), то остальные точки плоскости, как и в предыдущем случае, будут лежать вне шара. Плоскость будет иметь одну общую точку с

поверхностью; такая плоскость называется касательной к шару. Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к касательной плоскости.

Действительно, если плоскость имеет с поверхностью шара един­ственную общую течку, то эта точка ближайшая к центру шара по сравнению с остальными точ­ками плоскости и потому служит основанием перпендикуляра, опущенного из центра шара на плоскость.

Если, наконец, основание пер­пендикуляра М₀окажется внут­ри шара (рис. 4), то плоскость будет пересекать поверхность шара, так как часть ее окажется внутри шара, а часть — вне. Исследуем линию пересечения такой плоскости с шаровой поверх­ностью. Пусть расстояние ее от центра шара равно d, d<R. Тогда оказывается, что линия пересечения плоскости с поверх­ностью шара является окружностью с центром в точке М₀и радиусом, равным . Для доказательства проведем через М₀произвольный луч М₀М, лежащий в секущей пло­скости. Выходя из внутренней области шара во внешнюю, он пересечет поверхность шара в некоторой точке М. Рассмотрим треугольник ОМ₀М с прямым углом при вершине М₀. Катет М₀М по теореме Пифагора будет равен . Впрочем, постоянство длины отрезка независимо от направления луча М₀М вданной плоскости видно и без при