Дискретная задача оптимального управления

Содержание:

Введение……………………………………

1. Введение

Дискретные динамические модели управляемых систем — это до­вольно важный в теоретическом и практическом отношении класс ма­тематических моделей, позволяющий охватить очень широкий круг реальных объектов и соответствующих им задач управления. Они возникают как вполне естественные при моделировании дискретных процессов, таких как задачи распределения ресурсов, обработка и пе­редача информации цифровыми электронными устройствами, либо опосредованно — при дискретизации непрерывных моделей для прак­тических расчётов или с целью учёта неоднородности их поведения, либо чисто искусственным путём при организации различных итера­ционных вычислительных процедур.

К настоящему времени разработаны многочисленные точные и приближённые методы решения задач оптимального управления. Од­нако подавляющее их большинство относится к системам с непрерыв­ным временем. Для систем с дискретным временем, в особенности нелинейных, их арсенал оказывается значительно беднее. Основная причина — отсутствие в общем случае дискретного аналога принци­па максимума Понтрягина для непрерывных систем, вокруг которого

долгое время группировались в основном теоретические работы в об­ласти оптимального управления, основанные на методе вариаций и необходимых условиях оптимальности. Об этом свидетельствуют из­вестные работы по дискретным системам [1-3] и др.

Значительно более продвинутыми оказываются результаты, осно­ванные на принципе оптимальности Беллмана и общих достаточ­ных условиях оптимальности Кротова [4]. К ним относятся усло­вия локальной оптимальности и итерационные методы улучшения В. И. Гурмана [5]. В то же время разработано мало эффективных методов синтеза оптимального управления для нелинейных дискрет­ных систем.

Данная работа посвящена приближённым методам синтеза за­конов оптимального управления на основе принципа оптимальности Кротова и глобальных оценок, которые не требуют априори хороших аналитических свойств исследуемых моделей.

Конкретно речь идет о следующих новых методах приближённо­го синтеза оптимального управления:

• метода полиномиальной аппроксимации решения уравнения Беллмана;

• метода траекторного восстановления функции цены.

В первом разделе описывается дискретная модель управляемой системы, рассматриваются ее методические преобразования, дается постановка общей задачи оптимального управления, в том числе, в форме синтеза.

Во втором разделе дается метод приближенного синтеза опти­мального управления, как одного из способов задания функции Кро- това на основе аппроксимации решения уравнения Беллмана степен­ным полиномом, в том числе точечную интерполяцию и аппроксима­цию по методу наименьших квадратов.

В третьем разделе предлагается метод приближенного синтеза, основанный на восстановлении так называемой функции цены.

Обсуждаются их приложения к практическим задачам, в част­ности к задаче оптимизации пространственного маневра вертолета и задаче об оптимальной стратегии устойчивого развития.

2. Постановка задачи

Рассматривается дискретная задача оптимального управления [4] о минимуме функционала

N-1

I(x(i),u(i)) = F(x(N)) + ^ /⁰ (i,x(i),u(i))

i=0

на множестве D, определенном следующими условиями:

(1) x(i + 1) = / (i,x(i),u(i)), i = 0,1 ,...,N — 1,

x(i) e V_x (i) С Rⁿ , u(i) e V_u (i,x(i)) С R^r ,

x(0) e V x(0), x(N ) e Vx(N).

В соответствии с теорией Кротова, с помощью произвольной функ­ции p ( i , x ), строятся следующие конструкции:

R(i, x, u) = p(i + 1, /(i, x, u)) — p(i, x) — / о (i, x, u), G(x(0),x(N)) = F(x(N)) + p(N, x(N)) — p(0, x(0)),

P(i,x)= sup R(i,x,u), p(i) = sup P(i,x),

uЈV„(i,x(i)) x(i)eV_x (i)

m = inf G(x(0),x(N )) : x(0) e V₍ x)(0),x(N) e V₍ x)(N).

Задача сводится к поиску такой последовательности пар

{( x ( i ), u ( i )) _s } c D

и такой функции p (разрешающей, или функции Кротова), что вы­полняются достаточные условия оптимальности:

R(i,x_s (i),u_s (i)) ^ i), G(x_s (0),x_s (N)) ^ m.

3. Аппроксимации степенным полиномом

Здесь рассматривается метод приближенного синтеза оптималь­ного управления, как одного из способов задания функции Кротова на основе аппроксимации решения уравнения Беллмана интерполя­ционным полиномом.

Предполагается, что V_x (0) = {x(0)} , V_x ( i ) = Rⁿ , i = 0,1,... , N . В данном случае функция G ( x (0), x ( N )) зависит только от x ( N