Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процес

Министерство общего и профессионального образования

Сочинский государственный университет туризма

и курортного дела

Педагогический институт

Математический факультет

Кафедра общей математики

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

Использование дифференциальных уравнений в частных производных для моделирования реальных процессов.

подпись

Выполнила: студентка 5-го курса

дневной формы обучения

Специальность 010100

„Математика”

Прокофьевой Я. К.

Студенческий билет № 95035

подпись

Научный руководитель:доцент, канд.

техн. наук

Позин П.А.

Сочи, 2000 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………..……3

Глава 1. Уравнения гиперболического типа.

§1.1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа..………………5

1.1.1. Уравнение колебаний струны..…………………………………………5

1.1.2. Уравнение электрических колебаний в проводах…….………………8

§1.2. Метод разделения переменных ……………………………………………..10

1.2.1. Уравнение свободных колебаний струны….…………………………10

Глава 2. Уравнения параболического типа.

§2.1. Задачи, приводящие к уравнениям параболического типа………………..17

2.1.1. Уравнение распространения тепла в стержне.……………………….17

2.1.2. Распространение тепла в пространстве.………………………………19

§2.2. Температурные волны.……………………………………………………….23

Глава 3. Моделирование с помощью дифференциальных уравнений в частных производных.

§3.1. Дифракция излучения на сферической частице……………………………29

Заключение………………………………………………………………………….40

Литература…………………………………………………………………………..41

ВВЕДЕНИЕ

Изучением дифференциальных уравнений в частных производных занимается математическая физика. Основы теории этих уравнений впервые были изложены в знаменитом «Интегральном исчислении» Л. Эйлера.

Классические уравнения математической физики являются линейными. Особенность линейных уравнений состоит в том, что если U и V – два решения, то функция aU + bV при любых постоянных a и b снова является решением. Это обстоятельство позволяет построить общее решение линейного дифференциального уравнения из фиксированного набора его элементарных решений и упрощает теорию этих уравнений.

Современная общая теория дифференциальных уравнений занимается главным образом линейными уравнениями и специальными классами нелинейных уравнений. Основным методом решения нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных выступает численное интегрирование.

Круг вопросов математической физики тесно связан с изучением различных физических процессов. Сюда относятся явления, изучаемые в гидродинамике, теории упругости, электродинамике и т.д. Возникающие при этом математические задачи содержат много общих элементов и составляют предмет математической физики.

Постановка задач математической физики, будучи тесно связанной с изучением физических проблем, имеет свои специфические черты. Так, например, начальная и конечная стадии процесса носят качественно различный характер и требуют применения различных математических методов.

Круг вопросов, относящихся к математической физике, чрезвычайно широк. В данной работе рассматриваются задачи математической физики, приводящие к уравнениям с частными производными.

Расположение материала соответствует основным типам уравнений. Изучение каждого типа уравнений начинается с простейших физических задач, приводящих к уравнениям рассматриваемого типа.

Глава 1. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

§1.1. Задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа.

Уравнения с частными производными 2-го порядка гиперболического типа наиболее часто встречаются в физических задачах, связанных с процессами колебаний. Простейшее уравнение гиперболического типа

называется волновым уравнением. К исследованию этого уравнения приводит рассмотрение процессов поперечных колебаний струны, продольных колебаний стержня, электрических колебаний в проводе, крутильных колебаний вала, колебаний газа и т.д.

1.1.1. Уравнение колебаний струны.

В математической физике под струной понимают гибкую, упругую нить. Напряжения, возникающие в струне в любой момент времени, направлены по касательной к ее профилю. Пусть струна длины в начальный момент направлена по отрезку оси Оx от 0 до . Предположим, что концы струны закреплены в точках . Если струну отклонить от ее первоначального положения, а потом предоставить самой себе или, не отклоняя струны, придать в начальный момент ее точкам некоторую скорость, или отклонить струну и придать ее точкам некоторую скорость, то точки струны будут совершать движения – говорят, что струна начнет колебаться. Задача заключается в определении формы струны в любой момент времени и определении закона движения каждой точки струны в зависимости от времени.

Будем рассматривать малые отклонения точек струны от начального положения. В силу этого можно предполагать, что движение точек струны происходит перпендикулярно оси Ox и в одной плоскости. При этом предположении процесс колебания струны описывается одной функцией

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать