инистерство образования Российской Федерации
Средняя общеобразовательная школа «Гелиос»
Р Е Ф Е Р А Т
по математике на тему:
Исследование движений плоскости
и некоторых их свойств
Автор: Тимошпольский Андрей,
ученик 8 класса школы «Гелиос»
Научный руководитель:
Лившиц Владимир Аркадьевич,
аспирант Математико-механического
факультета УрГУ им. А.М.Горького
Екатеринбург
2001 г.
«Исследование движений плоскости и некоторых их свойств». стр. 21 из 21
и некоторых их свойств
Cодержание
Из истории развития теории движений.
Определение и свойства движений.
Конгруэнтность фигур.
Виды движений.
4.1. Параллельный перенос.
4.2. Поворот.
4.3. Симметрия относительно прямой.
4.4. Скользящая симметрия.
5. Исследование особых свойств осевой симметрии.
6. Исследование возможности существования других видов движений.
7. Теорема подвижности. Два рода движений.
8. Классификация движений. Теорема Шаля.
Движения как группа геометрических преобразований.
Применение движений в решении задач.
Литература.
Первым, кто начал доказывать некоторые геометрические предложения, считается древнегреческий математик Фалес Милетский (625-547 г. до н.э.). Именно благодаря Фалесу геометрия начала превращаться из свода практических правил в подлинную науку. До Фалеса доказательств просто не существовало!
Каким же образом проводил Фалес свои доказательства? Для этой цели он использовал движения.
Движение – это преобразования фигур, при котором сохраняются расстояния между точками. Если две фигуры точно совместить друг с другом посредством движения, то эти фигуры одинаковы, равны.
Именно таким путём Фалес доказал ряд первых теорем геометрии. Если плоскость повернуть как твёрдое целое вокруг некоторой точки О на 180о, луч ОА перейдёт в его продолжение ОА’. При таком повороте (его ещё называют центральной симметрией с центром О) каждая точка А перемещается в такую точку А’, что О является серединой отрезка АА’ (рис.1).
Рис.1 Рис.2
Пусть О – общая вершина вертикальных углов АОВ и А’ОВ’. Но тогда ясно, что при повороте на 180о стороны одного из двух вертикальных углов как раз перейдут в стороны другого, т.е. эти два угла совместятся. Значит, вертикальные углы равны (рис.2).
Доказывая равенство углов при основании равнобедренного треугольника, Фалес воспользовался осевой симметрией: две половинки равнобедренного треугольника он совместил перегибанием чертежа по биссектрисе угла при вершине (рис.3). Тем же способом Фалес доказал, что диаметр делит круг пополам.
Рис.3 Рис.4
Применял Фалес и ещё одно движение – параллельный перенос, при котором все точки фигуры смещаются в определённом направлении на одно и то же расстояние. С его помощью он доказал теорему, которая сейчас носит его имя:
если на одной стороне угла отложить равные отрезки и провести через концы этих отрезков параллельные прямые до пересечения со второй стороной угла, то на другой стороне угла также получатся равные отрезки (рис.4).
Во времена античной истории идеей движения пользовался и знаменитый Евклид, автор «Начал» – книги, пережившей более двух тысячелетий. Евклид был современником Птолемея I , правившего в Египте, Сирии и Македонии в 305-283 г. до н.э.
Движения в неявном виде присутствовали, например, в рассуждениях Евклида при доказательстве признаков равенства треугольников: «Наложим один треугольник на другой таким-то образом». По Евклиду, две фигуры называются равными, если они могут быть «совмещены» всеми своими точками, т.е. перемещая одну фигуру как твёрдое целое, можно точно наложить её на вторую фигуру. Для Евклида движение не было ещё математическим понятием. Впервые изложенная им в «Началах» система аксиом стала основой геометрической теории, получившей название Евклидовой геометрии.
В Новое время продолжается развитие математических дисциплин. В XI веке создаётся аналитическая геометрия. Профессор математики Болонского университета Бонавентура Кавальери (1598-1647) издаёт сочинение «Геометрия, изложенная новы
Наверняка у вас есть товары или услуги, продажа которых приносит вам максимальную прибыль. Для быстрого старта в сети вам необходимо создание посадочной страницы (одностраничного сайта), на которой будет размещена информация о маржинальных товарах/услугах интернет магазина. За 8 лет опыта разработки конверсионных страниц мы выработали оптимальную структуру, которая позволит привлекать через landing page больше продаж. На такую структуру «одевается» ваш контент — фирменный стиль, тексты, фотографии, уникальные торговые предложения, после чего страница выходит в свет. Разработка лендинга и запуск в сети — до 7 рабочих дней. Стоит отметить, что в разработку самой посадочной страницы входит и написание копирайтером продающих текстов для вашего бизнеса, чтобы каждый посетитель страницы захотел совершить покупку именно у вас. Результат: качественно разработаная продающая посадочная страница, которая готова приносить вам новых клиентов.