Алгебра и топология

Алгебра и топология

Определения.

1. Общая алгебра – часто алгебра, занимающаяся изучением тех или иных алгебраических систем, включающая в себя теории групп, колец, модулей (абелева группа с кольцом операторов), подгрупп, решеток (структур) и т. п. .

Если универсальная алгебра (см. §2.1, п.1) снабжена порядком или топологией, согласованным с операциями, то возникает частично упорядоченная или топологическая алгебра соответственно. Исследование этих объектов также относится к общей алгебре.

Наиболее развиты в общей алгебре теории частично упорядоченных и топологических групп и колец. Другими направлениями являются исследования структур, универсальных алгебр и категорий. Вскрытие связей алгебр и математической логики привело к появлению теории моделей и алгебраических систем, кратко раскрывавшихся ранее (см. §3.1, п. 3.3). Результаты этих исследований находят приложения в ряде областей, например, в алгебраической теории автоматов, алгебре алгоритмов и алгебраической теории информации (главным образом в том направлении, которое связано с теорией кодирования и декодирования).

Немаловажно и другое замечание общей алгебры – ее связь с топологией.

Предметом исследований объектов являются: установление их соответствия, образование изотопий, наличие и сохранение характерных свойств, введение классов, категорий и т. п. .

Результаты обобщений позволяют надежно обосновывать рациональные пути конструктивных практических методов, подобных уже упоминавшихся ранее (§2.2, п. 2.4, §2.3, п. 6-11).

В §§2.2 и 2.3 приведены многие определения из входящих в круг понятий общей алгебры. Однако следует остановиться еще на ряде терминов.

Универсальная алгебра – это алгебраическая система с пустым множеством отношений (часто называют просто алгебра). Если к основным операциям алгебры А присоединяются все производные операции (например, как в §2.3, п. 6), то возникает универсальная алгебра Â большей сигнатуры. Равенство Â = возможное и при А ¹В , приводит к понятию рациональной дививалентности универсальных алгебр.

Универсальная алгебра называется функционально полной , если всякая операция на ее носителе принадлежит клону* , порожденному ее основными операциями и константами. Если исключаются константы, то универсальная алгебра называется строго функционально полной. Всякая функционально полная универсальная алгебра конечна.

В общей алгебре дается характеристика многообразия универсальных алгебр.

Частично упорядоченная группа – группа G_j , на которой задано отношение частичного порядка £ такое, что для любых a, b, x, y из G неравенство a£b влечет за собой xay£xby.

Множество ={xÎG½x³1} частично упорядоченной группы, называемое положительным конусом или целой частью , группы G, обладает следующими свойствами:

1) × P Í P; 2) Ç P^-1 ={1}; 3) x^-1 PxÍ,

для любых xÎG.

Пример5.1 . Частично упорядоченными группами являются:

1. Аддитивная группа действительных чисел с обычным порядком;

2. Группа F(C, R) функций, заданных на произвольном множестве C со значениями R, с операцией:

(f+g)(x)=f(x)+g(x)

и отношением порядка f£g, если f(x) £g(x) для всех xÎC.

Важный класс частично упорядоченных групп – структурно(решеточно)упорядоченная группа , l -группа , – группа G с сигнатурой: <×, ^-1 ,>, удовлетворяющая аксиомам:

1)

5.1

<G, ×, ^-1 , , > – группа;

2) <G, , > – решетка;

3) x(yz)t=xytxzt,

x(yz)t=xytxzt,

для любых x, y, z, tÎG.

Решетка структурно упорядоченной группы дистрибутивна.

Модулем элемента x называют элемент |x|=xx^-1 .

Положительной частью элемента x является x⁺ =x и отрицательной x^- =x.

Другой важный класс – линейно упорядоченная группа G , являющаяся группой относительно операции умножения, линейно упорядоченным множеством относительно бинарного отношения порядка £ и удовлетворяющая аксиоме: для любых элементов x, y, zÎG из x£y следует xz£yz и zx£zy.

Частично упорядоченное кольцо K является частично упорядоченной группой по сложению, в котором для любых a, b, cÎK неравенства a£b и c³0 влекут за собой неравенства ac£bc и ca£cb.

Пример 5.2. Упорядоченными кольцами являются:

1. Упорядоченное поле – линейно упорядоченное кольцо, являющееся полем (поле действительных чисел с обычным порядком);

2. Кольцо действительных функций на множестве C, где f£g означает, что f(x)£g(x) для всех xÎC;

3. Кольцо матриц над упорядоченным кольцом K , где по определению ,если a_ij £b_ij для всех i, j.

Если K – упорядоченное кольцо, то множество ={x|xÎK , x³0} называется его положительным конусом, однозначно определяющим порядок кольца K (x£y, тогда и только тог

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать