Теория управления

Общая постановка задачи управляемости

Для задачи ОУ характерно наличие динамического объекта. Динамический объект- объект, состояние которого меняется со временем. Состояние любого динамического объекта в момент времени характеризуется параметрами . Такие параметры наз. Фазовые координаты, а сам вектор- фазовый вектор.

Предполагается, что движением объекта можно управлять. Набор параметров - параметры управления, u(t)- вектор управления. Положение объекта зависит только от того, какое управление было до момента времени , и не зависит от того, какое управление будет в будущем. В зависимости от описания дин. Объекта рассматриваются различные задачи.

Состояние динамического объекта описывается диф. уравнением

1) - эта система решается приближенным методом.

2) x(t) должны принадлежать , . Класс допустимых управлений x(t), не можат быть произвольным. , как правило мн-во замкнуто и ограничено, а это не позволяет применять класс вариационого исчесления, кроме этого на могут быть наложены ограничения по времени.

3)Начальное и конечное состояние объекта.на интервале , , .Задача управления заключается в том, чтобы динамический объект, описываемый системой (1), удовлетворяющий условиям (2), перенести за промежуток времени , из состояния .Это может быть достигнуто разными способами.

4) Критерий управления. Это некоторый функционал вида . Находим такие , что

2. Основные вопросы в теории ОУ.

1. 1) Управляемость. Можно ли осуществить перевод динамического объекта из состояния , за промежуток времени .

2. Существует ли ОУ.

3) Необходимые условия оптимальности- принцип максимума Понтрягина.

4) Достаточные условия ОУ.

5) Единственность ОУ.

3. Постановка линейной задачи.

Линейная задача имеет вид: Рассматриваем динамический объект, поведение которого описывается системой (1) , x- n-мерный вектор, , A-матрица nxn, u имеет ту же размерность, что и , , -замкнуто и ограничено. Допустимое управление u(t) на отр.I осуществляет переход из начального мн-ва в конечное множество , если существует решение уравнения (1), удовлетворяющее граничным условиям и . Цель управления - перевод динамический объекта из в , а качество определяет функционал. Таким функционалом явл. время, следовательно задача быстродействия заключается в нахождении такого допустимого управления, которое осуществляет переход из множества в за наименьшее время.

4. Пространство , алгебраическая сумма, произведение множества на число

Пространство -пространство состоящее из всевозможных не пустых компактных подмножеств пр-ва .

Мн-во F компактное, если оно замкнуто и ограничено.

Мн-во F ограничено, если оно содержится в шарк некоторого радиуса.

Мн-во F замкнуто, если оно содержит все свои предельные точки.

Точка f предельная точка F, если в любой ее окрестности содержится хотя бы одна точка мн-ва F отличная от f.

Операции:1) алгебраической суммойназ. мн-во C такое, что любой элемент , .

2) произведением множества на число наз. мн-во C такое, что любой элемент .

5., хаусдорффова норма, лемма про определенность хаус. нормы.

-это минимальный радиус шара с центром в начале координат, где .

Хаусдорффова норма- это расстояние между мн-ми A и B:

-расстояние между мн-ми A и B () явл. наименьшее положительное число r.

Лемма: Пусть - выпуклы, тогда хаусдорффова норма

6. Опорные функции.

Задано множество и вектор . Для этих двух элементов можно определить опорную функцию следующим образом , где C опорная функция. ,

, .

, .

Пусть -некоторый фиксированный вектор, а один из векторов множества F, на котором опорная функция достигает максимум: . В этом случае наз. опорным вектором мн-ва F в точке . А совокупность всех векторов наз. опорным множеством к множеству F в направлении .Гиперплоскость - наз. опорной гиперплоскостью к множеству F в направлении . Гиперплоскость разбивает на два подпространства, при этом множество F находится в отрезке получаемый относительно , т.к. для всех точек выполняется неравенство . Если считать, что - единичный вектор, ,

. опорных

7. Свойства опорной функции.

1. Опорные функция- положительно однородная по переменной .

. Это значит что ,.

2. Для опорные функции удовлетворяют неравенству: 3. Два множества и , , Пусть матрица A размера n на n, и рассмотрим лин. образ множества F при лин. преобразовании A и наз.

.

4. ,где -матр. сопряженная с матр. .

5. Опорная функция положительная и однородная по первому аргументу. , . Пусть и пользуемся : 1) условием однородности: 6. Пусть задано множество и его опорная фун. . Выпуклая оболочка мн-ва F

, .

7. Если и A=B, то опорная фун.. И наоборот, если ,то. Следствие: Выпуклые мн-ва равны тогда и только тогда, когда равны их опорные функции.

8. Если и . В этом случае . Если ,то. Следствие: Выпуклые мн-ва тогда и только тогда, когда равны их опорные функции .

9. Пусть задано множество , тогда . В обратную сторону: , когда . Следствие: Точка выпуклому мн-ву