Матрицы и линейные операции над ними. Умножение матриц

1.Матрицы и линейные операции над ними. Умножение матриц.

Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, числа из которых состоит матрица называют её элементами.

Количество строк и столбцов определяют размерность матрицы. Например(m´n). Если количество строк совпадает с количеством столбцов, то матрица – квадратная, в этом случае кол-во строк (столбцов) определяют порядок матрицы.

Матрица у которой диагональные элементы равны еденице, а все остальные нулю - называют единичной матрицей.(E,J)

Матрицу С (m´n) называют суммой матриц А и B, если С_ij определяются следующим образом С_ij =a_ij +b_ij

Матрицу С (m´n) называют разностью матриц А и B, если С_ij определяются следующим образом С_ij =a_ij -b_ij

Матрицу С (m´n) называют произведением матрицы А на вещественное число l если С_ij определяются следующим образом С_ij =la_ij

Матрицу С (m´n) называют произведением матрицы А на матрицу В если:

1) Матрица С имеет размерность (m´n)

2) Элементы матрицы С определяются следующим образом:

С_ij =, C_ij =a_{i 1} ´b_{1 j} +a_{i 2} ´b_{2 j} +a_{i 3} ´b_{3 j} +…+a_ik ´b_kj

Из определения произведения матриц следует, что кол-во столбцов матрицы А должно совпадать с кол-вом строк матрицы В. Произведение матриц вычисляется по правилу “строка на столбец”. Для того чтобы вычислить элемент С_ij необходимо все элементы i строки матрицы А умножить на соответствующие элементы j столбца матрицы В и сложить. А´В¹В´А.

А^* =(а^* _ij ) называется транспонированной по отношению к матрице А если выполняется равенство а^* _ij =а_ji , А=(а_ij ) таким образом если матрица А имеет размерность (m´n) то А^* имеет размерность (n ´m).

2.Определители квадратных матриц и их свойства. Миноры и алгебраические дополнения.

Определитель состоит из слагаемых, каждый из которых содержит сомножители стоящие в разных строках и столбцах.

Определителем второго порядка называется число (det(A)), которое равно а₁₁ ´а₂₂ -а₁₂ ´а₂₁ , таким образом определителем второго порядка называют следующее выражение

Определителем третьего порядка называется число (det(A)), которое вычисляется при помощи равенства det(A)=a₁₁ a₂₂ a₃₃ +a₁₂ a₂₃ a₃₁ +a₃₁ a₂₁ a₃₂ -a₁₃ a₂₂ a₃₁ -a₁₂ a₂₁ a₃₃ -a₁₁ a₂₃ a₃₂

Свойства определителей

а) Определитель транспонированной матрицы равен определителю исходной матрицы.

б) Если все элементы строки умножить на некоторое число, то и величина определителя умножится на это же число.

в) Если определитель содержит строку (столбец) все элементы которой равны нулю, то такой определитель равен нулю.

г) Если определитель содержит две одинаковые строки (столбца), то этот определитель равен нулю.

д) Если в определителе поменять местами строки (столбцы), то знак определителя изменится на противоположный.

е) Величина определителя не изменится если ко всем элементам одной строки прибавить все элементы другой, умноженные на некоторое число. (Аналогично для столбцов).

ё) Если какую-либо строку определителя можно представить в виде суммы двух строк a₁ и a₂ , то тогда определитель можно представить в виде суммы двух определителей в одном из которых рассматриваемая строка заменена на строку a₁ , а в другом на a₂ .

ж) (Теорема Лопласа) Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц. det(A´B)=det(A)´det(B).

Алгебраические дополнения и миноры.

Минором k-го порядка называют определитель размерностью (k´k), выбранный из матрицы размерностью (m´n).

Если в матрице А вычёркивается строка N_i , а столбец N_j , то минор, получающийся при удалении строки и столбца называется алгебраическим дополнением.

3. Определитель n -го порядка. Теорема о разложении определителя.

Определителем n-го порядка называется алгебраическая сумма n! слагаемых, каждое из которых представляет произведение n элементов матрицы стоящих в разных строках и разных столбцах, знак с которым каждое слагаемое входит в алгебраическую сумму определяется чётностью подстановки составленной из индексов элементов входящих в данное произведение.

Теорема.

Пусть дана матрица А порядка n, тогда определитель матрицы А можно представить в виде суммы произведений элементов какой-либо строки на их алгебраическое дополнение. Сумма произведений элементов какой-либо строки на соответствующее алгебраическое дополнение элементов другой строки равна нулю. Аналогичное утверждение имеет место для столбцов.

det(A)=,

Внимание, отключите Adblock

Вы посетили наш сайт со включенным блокировщиком рекламы!
Ссылка для скачивания станет доступной сразу после отключения Adblock!

Скачать