Последняя цифра степени
МОУ «Шербакульская средняя общеобразовательная школа №1»
Научное сообщество учащихся «Поиск»
Тема: « Последняя цифра степени.»
Выполнила: ученица 7 «б» класса
Терентьева Валентина
Руководитель: Пушило Т.Л.
р.п. Шербакуль
2010 – 2011 уч. год
Содержание:
· Введение.
· Цели работы.
· Последняя цифра степени.
· Закономерности возведения в степень
· Две последних цифры степени.
· Задачи.
· Заключение.
· Использованная литература .
Введение.
Однажды, листая страницы книги «Тысяча проблемных задач по математике», я увидела с первого взгляда очень трудную задачу, точнее сказать пример надо было найти последнюю цифру суммы
11989 + 21989 + 31989 + 41989 + 51989 +…+ 19891989 .
Потом я подумала, а ведь должен же быть, какой-нибудь рациональный способ вычисления и тут я принялась считать…
Гипотеза: Можно ли сказать какой будет последняя цифра у любой степени?
Цели работы:
· Узнать, можно ли построить таблицу последних цифр различных степеней.
· Найти закономерность в них.
· Используя таблицу практиковаться на более легких задачах и решить вышеупомянутый пример и если получится более сложные.
Последняя цифра степени.
Приведем небольшое исследование: выясним есть ли какая-нибудь закономерность в том, как меняется последняя цифра числа 2n , где n – натуральное число, с изменением показателя n . Для этого рассмотрим таблицу:
| 21 = 2 25 = 32 29 = 512 | 22 = 4 26 = 64 210 = 1024 | 23 = 8 27 = 128 211 = 2048 | 24 = 16 28 = 256 212 = 4096 |
Мы видим, что через каждые четыре шага последняя цифра повторяется. Заметив это, нетрудно определить последнюю цифру степени 2n для любого показателя n .
В самом деле, возьмем число 2100 . Если бы мы продолжили таблицу, то оно попало бы в столбец, где находятся степени 24 , 28 , 212 , показатели которых кратны четырем. Значит, число 2100 , как и эти степени, оканчивается цифрой 6.
Возьмем к примеру, 222 , если проверить, просто посчитав, то получится 4194304 – последняя цифра 4.
Теперь попробуем пользоваться таблицей, но в таблице 4 числа, а показатель степени 22, однако, после последнего числа этот «круг» начинается заново. Поэтому, показатель степени 22 делим на 4, получаем число 5 и остаток 2 т.е мы сделаем 5 «кругов», и отсчитаем ещё 2 в перед, а второе число – это 4, значит, таблица работает.
А теперь посмотрим, можно ли составить таблицы для остальных чисел. Все описывать не буду, лишь скажу, что у меня получилось составить таблицу для всех чисел от 1 до 10, а далее будет повторяться, допустим, у 12 последние числа будут такие же, как и у 2, а у 25 – так же, как и у 5.
Закономерности возведения в степень:
- Запись числа, являющегося полным квадратом, может оканчиваться только цифрами 0, 1, 4, 5, 6 или 9.
- Если запись числа оканчивается цифрой 0, 1, 5 или 6,то возведение в любую степень не изменит последние цифры.
- При возведении любого числа в пятую степень его последняя цифра не изменится.
- Если число оканчивается цифрой 4 (или 9), то при возведении в нечетную степень последняя цифра не изменяется, а при возведении в четную степень изменится на 6 (или 1 соответственно).
- Если число оканчивается цифрой 2, 3, 7 или 8, то при возведении в степень возможны четыре различных цифры.
Две последних цифры степени.
Мы теперь знаем, что последняя цифра рано или поздно будет повторяться. Но как же обстоит дело с 2-мя последними цифрами? Я осмелюсь предположить, что не только 2, но и 3 и более последних цифр будут повторяться. Что ж проверим это, так же я заметила, что периоды из прошлой таблицы просто увеличились в 5 раз, кроме чисел 5 и 10, а про число 1 я писать не стала, так как результат всегда будет 1.
| Степень | 02 | 03 | 04 | 05 | 06 | 07 | 08 | 09 | 10 | |||
| Х2 | 04 |
Оценок: 1000 (Средняя 5 из 5)
Наверняка у вас есть товары или услуги, продажа которых приносит вам максимальную прибыль. Для быстрого старта в сети вам необходимо создание посадочной страницы (одностраничного сайта), на которой будет размещена информация о маржинальных товарах/услугах интернет магазина. За 8 лет опыта разработки конверсионных страниц мы выработали оптимальную структуру, которая позволит привлекать через landing page больше продаж. На такую структуру «одевается» ваш контент — фирменный стиль, тексты, фотографии, уникальные торговые предложения, после чего страница выходит в свет. Разработка лендинга и запуск в сети — до 7 рабочих дней. Стоит отметить, что в разработку самой посадочной страницы входит и написание копирайтером продающих текстов для вашего бизнеса, чтобы каждый посетитель страницы захотел совершить покупку именно у вас. Результат: качественно разработаная продающая посадочная страница, которая готова приносить вам новых клиентов. © 2016 - 2022 BigEdu.ru
| ||||||||||